Euclidean plane isometryIn geometry, a Euclidean plane isometry is an isometry of the Euclidean plane, or more informally, a way of transforming the plane that preserves geometrical properties such as length. There are four types: translations, rotations, reflections, and glide reflections (see below under ). The set of Euclidean plane isometries forms a group under composition: the Euclidean group in two dimensions. It is generated by reflections in lines, and every element of the Euclidean group is the composite of at most three distinct reflections.
Réflexion (mathématiques)En mathématiques, une réflexion ou symétrie axiale du plan euclidien est une symétrie orthogonale par rapport à une droite (droite vectorielle s'il s'agit d'un plan vectoriel euclidien). Elle constitue alors une symétrie axiale orthogonale. Plus généralement, dans un espace euclidien quelconque, une réflexion est une symétrie orthogonale par rapport à un hyperplan, c'est-à-dire à un sous-espace de codimension 1. En dimension 3, il s'agit donc d'une symétrie orthogonale par rapport à un plan.
Plane of rotationIn geometry, a plane of rotation is an abstract object used to describe or visualize rotations in space. The main use for planes of rotation is in describing more complex rotations in four-dimensional space and higher dimensions, where they can be used to break down the rotations into simpler parts. This can be done using geometric algebra, with the planes of rotations associated with simple bivectors in the algebra.
Transformation géométriqueUne transformation géométrique est une bijection d'une partie d'un ensemble géométrique dans lui-même. L'étude de la géométrie est en grande partie l'étude de ces transformations. Les transformations géométriques peuvent être classées selon la dimension de l'ensemble géométrique : principalement les transformations planes et les transformations dans l'espace. On peut aussi classer les transformations d'après leurs éléments conservés : Jusqu'à l'avant dernière, chacune de ces classes contient la précédente.
Réflexion glisséeEn géométrie euclidienne, une réflexion glissée du plan euclidien est une isométrie affine de ce plan, constituée de la composée d'une réflexion par rapport à une droite et d'une translation dans la direction de cette droite. Cette composition est ici commutative. Plus généralement, dans un espace euclidien quelconque, une réflexion glissée est la composée d'une réflexion par rapport à un hyperplan et d'une translation parallèlement à cet hyperplan. Réflexion (mathématiques) Symétrie (transformation géomét
GéométrieLa géométrie est à l'origine la branche des mathématiques étudiant les figures du plan et de l'espace (géométrie euclidienne). Depuis la fin du , la géométrie étudie également les figures appartenant à d'autres types d'espaces (géométrie projective, géométrie non euclidienne ). Depuis le début du , certaines méthodes d'étude de figures de ces espaces se sont transformées en branches autonomes des mathématiques : topologie, géométrie différentielle et géométrie algébrique.
Géométrie elliptiqueUne géométrie elliptique est une géométrie non euclidienne. Les axiomes sont identiques à ceux de la géométrie euclidienne à l'exception de l'axiome des parallèles : en géométrie elliptique, étant donné une droite et un point extérieur à cette droite, il n'existe aucune droite parallèle à cette droite passant par ce point. Il est équivalent de dire que la somme des angles d'un triangle est toujours supérieure à .
Algèbre géométrique (structure)Une algèbre géométrique est, en mathématiques, une structure algébrique, similaire à une algèbre de Clifford réelle, mais dotée d'une interprétation géométrique mise au point par David Hestenes, reprenant les travaux de Hermann Grassmann et William Kingdon Clifford (le terme est aussi utilisé dans un sens plus général pour décrire l'étude et l'application de ces algèbres : l'algèbre géométrique est l'étude des algèbres géométriques).
Klein geometryIn mathematics, a Klein geometry is a type of geometry motivated by Felix Klein in his influential Erlangen program. More specifically, it is a homogeneous space X together with a transitive action on X by a Lie group G, which acts as the symmetry group of the geometry. For background and motivation see the article on the Erlangen program. A Klein geometry is a pair (G, H) where G is a Lie group and H is a closed Lie subgroup of G such that the (left) coset space G/H is connected.
Géométrie hyperboliqueEn mathématiques, la géométrie hyperbolique (nommée auparavant géométrie de Lobatchevski, lequel est le premier à en avoir publié une étude approfondie) est une géométrie non euclidienne vérifiant les quatre premiers postulats d’Euclide, mais pour laquelle le cinquième postulat, qui équivaut à affirmer que par un point extérieur à une droite passe une et une seule droite qui lui est parallèle, est remplacé par le postulat selon lequel « par un point extérieur à une droite passent plusieurs droites parallèle
Reflection (mathematics)In mathematics, a reflection (also spelled reflexion) is a mapping from a Euclidean space to itself that is an isometry with a hyperplane as a set of fixed points; this set is called the axis (in dimension 2) or plane (in dimension 3) of reflection. The image of a figure by a reflection is its in the axis or plane of reflection. For example the mirror image of the small Latin letter p for a reflection with respect to a vertical axis (a vertical reflection) would look like q.
Symétrie centralethumb|upright=0.7|Symétrie centrale plane dans une carte à jouer : sur la carte figure le roi de cœur et son symétrique par rapport au centre de cette dernière. En géométrie, une symétrie centrale est une transformation d'un espace affine. Elle se réalise à partir d'un point fixe noté Ω appelé centre de symétrie. Elle transforme tout point M en un point M' tel que le point Ω soit le milieu du segment [MM']. En termes de vecteurs, cela se traduit par : Comme toute symétrie, c'est une involution, c'est-à-dire qu'on retrouve le point ou la figure de départ si on l'applique deux fois.
Isometry groupIn mathematics, the isometry group of a metric space is the set of all bijective isometries (that is, bijective, distance-preserving maps) from the metric space onto itself, with the function composition as group operation. Its identity element is the identity function. The elements of the isometry group are sometimes called motions of the space. Every isometry group of a metric space is a subgroup of isometries. It represents in most cases a possible set of symmetries of objects/figures in the space, or functions defined on the space.
Géométrie riemanniennevignette|275px|L'étude de la forme de l'univers est une adaptation des idées et méthodes de la géométrie riemannienne La géométrie riemannienne est une branche de la géométrie différentielle nommée en l'honneur du mathématicien Bernhard Riemann, qui introduisit les concepts fondateurs de variété géométrique et de courbure. Il s'agit de surfaces ou d'objets de plus grande dimension sur lesquels existent des notions d'angle et de longueur, généralisant la géométrie traditionnelle qui se limitait à l'espace euclidien.
IsométrieEn géométrie, une isométrie est une transformation, qui conserve les longueurs et les mesures d’angles, délimités par deux demi‐droites ou bien deux demi‐plans. Autrement dit, une isométrie est une similitude particulière, qui reproduit n’importe quelle figure à l’échelle 1. Ce rapport 1 de longueurs s’appelle le rapport de la similitude. Comme une similitude, une isométrie dite directe conserve l’orientation des figures, tandis qu’une isométrie indirecte inverse leur orientation.
Matrice d'une application linéaireEn algèbre linéaire, la matrice d'une application linéaire est une matrice de scalaires qui permet de représenter une application linéaire entre deux espaces vectoriels de dimensions finies, étant donné le choix d'une base pour chacun d'eux. Soient : E et F deux espaces vectoriels sur un corps commutatif K, de dimensions respectives n et m ; B = (e, ... , e) une base de E, C une base de F ; φ une application de E dans F.
TransforméeEn mathématiques, une transformée consiste à associer une fonction définie sur un domaine à une autre fonction, définie sur un domaine éventuellement différent. Un exemple d'application en physique consiste à étudier un signal défini sur le domaine temporel par sa transformation sur le domaine fréquentiel. Transformée d'Abel Transformée de Fourier Transformée de Fourier locale Transformée de Fourier-Mukai Transformée de Laplace Transformée bidirectionnelle de Laplace Transformée bilatérale de Laplace Trans
Géométrie non euclidienneLa géométrie non euclidienne (GNE) est, en mathématiques, une théorie géométrique ayant recours aux axiomes et postulats posés par Euclide dans les Éléments, sauf le postulat des parallèles. Les différentes géométries non euclidiennes sont issues initialement de la volonté de démontrer la proposition du cinquième postulat, qui apparaissait peu satisfaisant en tant que postulat car trop complexe et peut-être redondant avec les autres postulats).
Isométrie affineUne isométrie affine est une transformation bijective d'un espace affine euclidien dans un autre qui est à la fois une application affine et une isométrie (c'est-à-dire une bijection conservant les distances). Si cette isométrie conserve aussi l'orientation, on dit que c'est un déplacement. Si elle inverse l'orientation, il s'agit d'un antidéplacement. Les déplacements sont les composés de translations et rotations. Les réflexions sont des antidéplacements. On désigne par le plan (, plus précisément, un plan affine réel euclidien).
Géométrie conformeEn mathématiques, la géométrie conforme est l'étude de l'ensemble des transformations préservant l'angle (conformes) sur un espace. Dans un espace réel de dimension 2, la géométrie conforme est précisément la géométrie des surfaces de Riemann. Dans des espaces de dimension supérieure à 2, la géométrie conforme peut se référer soit à l'étude des transformations conformes de ce qu'on appelle les "espaces plats" (tels que les espaces euclidiens ou les sphères), soit à l'étude des variétés conformes qui sont des variétés riemanniennes ou pseudo-riemanniennes.
