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Séance de cours

Bien-fondé et exhaustivité d'un système de preuve proposé

Dans cours

CS-550: Formal verification

We introduce formal verification as an approach for developing highly reliable systems. Formal verification finds proofs that computer systems work under all relevant scenarios. We will learn how to use formal verification tools and explain the theory and ...

Description

Cette séance de cours introduit le concept de visualisation des épreuves en tant que graphes acycliques dirigés, où chaque étape est représentée par un nœud et des bords dirigés. L'instructeur explique un système de démonstration de la logique propositionnelle minimale, définissant des formules et des règles d'inférence. Diverses preuves de formules de logique propositionnelle sont démontrées, soulignant limportance de la solidité et de lexhaustivité dans un système de preuve. La séance de cours se termine par une discussion sur la solidité et l'exhaustivité d'un système de preuve, soulignant l'importance de dériver toutes les formules et tautologies souhaitées.

Enseignant·e

Viktor Kuncak

Viktor Kunčak joined EPFL in 2007, after receiving a PhD degree from MIT. Since then has been leading the Laboratory for Automated Reasoning and Analysis and supervised at least 12 completed PhD theses. His works on languages, algorithms and systems for verification and automated reasoning. He served as an initiator and one of the coordinators of a European network (COST action) in the area of automated reasoning, verification, and synthesis. In 2012 he received a 5-year single-investigator European Research Council (ERC) grant of 1.5M EUR. His invited talks include those at Lambda Days, Scala Days, NFM, LOPSTR, SYNT, ICALP, CSL, RV, VMCAI, and SMT. A paper on test generation he co-authored received an ACM SIGSOFT distinguished paper award at ICSE. A PLDI paper he co-authored was published in the Communications of the ACM as a Research Highlight article. His Google Scholar profile reports an over-approximate H-index of 38. He was an associate editor of ACM Transactions on Programming Languages and Systems (TOPLAS) and served as a co-chair of conferences on Computer-Aided Verification (CAV), Formal Methods in Computer Aided Design (FMCAD), Workshop on Synthesis (SYNT), and Verification, Model Checking, and Abstract Interpretation (VMCAI). At EPFL he teaches courses on functional and parallel programming, compilers, and verification. He has co-taught the MOOC "Parallel Programming" that was visited by over 100'000 learners and completed by thousands of students from all over the world.

Source officielle

Proximité ontologique

Logique

Logique classique: Calcul des prédicats

Concepts associés (32)

Calcul des propositions

Le calcul des propositions ou calcul propositionnel, (ou encore logique des propositions) fait partie de la logique mathématique. Il a pour objet l'étude des relations logiques entre « propositions » et définit les lois formelles selon lesquelles les propositions complexes sont formées en assemblant des propositions simples au moyen des connecteurs logiques et celles-ci sont enchaînées pour produire des raisonnements valides. Il est un des systèmes formels, piliers de la logique mathématique dont il aide à la formulation des concepts.

Proof calculus

In mathematical logic, a proof calculus or a proof system is built to prove statements. A proof system includes the components: Language: The set L of formulas admitted by the system, for example, propositional logic or first-order logic. Rules of inference: List of rules that can be employed to prove theorems from axioms and theorems. Axioms: Formulas in L assumed to be valid. All theorems are derived from axioms. Usually a given proof calculus encompasses more than a single particular formal system, since many proof calculi are under-determined and can be used for radically different logics.

Tautologie

La tautologie (du grec ancien ταὐτολογία, composé de ταὐτό, « la même chose », et λέγω, « dire » : le fait de redire la même chose) est une phrase ou un effet de style ainsi tourné que sa formulation ne puisse être que vraie. La tautologie est apparentée au truisme (ou lapalissade) et au pléonasme. En logique mathématique, le mot « tautologie » désigne une proposition toujours vraie selon les règles du calcul propositionnel. On utilise aussi l'adjectif tautologique en mathématiques pour désigner des structures qui émergent naturellement de la définition de certains objets.

Logique intuitionniste

La logique intuitionniste est une logique qui diffère de la logique classique par le fait que la notion de vérité est remplacée par la notion de preuve constructive. Une proposition telle que « la constante d'Euler-Mascheroni est rationnelle ou la constante d'Euler-Mascheroni n'est pas rationnelle » n'est pas démontrée de manière constructive (intuitionniste) dans le cadre de nos connaissances mathématiques actuelles, car la tautologie classique « P ou non P » (tiers exclu) n'appartient pas à la logique intuitionniste.

Démonstration formelle

Une démonstration formelle est une séquence finie de propositions (appelées formules bien formées dans le cas d'un langage formel) dont chacun est un axiome, une hypothèse, ou résulte des propositions précédentes dans la séquence par une règle d'inférence. La dernière proposition de la séquence est un théorème d'un système formel. La notion de théorème n'est en général pas effective, donc n'existe pas de méthode par laquelle nous pouvons à chaque fois trouver une démonstration d'une proposition donnée ou de déterminer s'il y en a une.

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Séances de cours associées (30)

Qu’est-ce qu’une preuve formelle?

Couvre le concept de systèmes de preuve formelle, leur structure et leur solidité.

Concept de preuve en mathématiques

Plonge dans le concept de preuve en mathématiques, en soulignant l'importance de la preuve et du raisonnement logique.

Logique proposée: Traductions et équivalences

Couvre la traduction du langage naturel en logique de proposition et la démonstration de tautologies.

Preuves : Équivalence logique et règles d'inférence

Couvre le concept d'équivalence logique dans les règles de preuve et d'inférence.

Proposition de résolution

Explore l'exhaustivité dans la logique propositionnelle, la résolution sur les clauses, la forme conjonctive, la résolution unitaire, les solveurs SAT et la génération de preuves.

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