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Fonctions de convex: Théorie et applications

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Dans cours

MGT-418: Convex optimization

This course introduces the theory and application of modern convex optimization from an engineering perspective. ...

Description

Cette séance de cours couvre le concept de fonctions convexes, y compris la vérification de la convexité le long des lignes, la fonction log-déterminante négative, les transformations préservant la convexité, les transformations affines, le maximum et le supreme ponctuels, des exemples de fonctions convexes, la composition des fonctions convexes, les généralisations aux fonctions concaves, les problèmes de minimisation, l'intuition géométrique, le lemme de Schur, la fonction de distance à un ensemble convexe, la perspective et l'entropie relative.

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Enseignant·e

Daniel Kuhn

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Proximité ontologique

Mathématiques

Algèbre: Algèbre linéaire

Concepts associés (32)

Fonction convexe

vignette|upright=1.5|droite|Fonction convexe. En mathématiques, une fonction réelle d'une variable réelle est dite convexe : si quels que soient deux points et du graphe de la fonction, le segment est entièrement situé au-dessus du graphe, c’est-à-dire que la courbe représentative de la fonction se situe toujours en dessous de ses cordes ; ou si l'épigraphe de la fonction (l'ensemble des points qui sont au-dessus de son graphe) est un ensemble convexe ; ou si vu d'en dessous, le graphe de la fonction est en bosse.

Matrice d'une application linéaire

En algèbre linéaire, la matrice d'une application linéaire est une matrice de scalaires qui permet de représenter une application linéaire entre deux espaces vectoriels de dimensions finies, étant donné le choix d'une base pour chacun d'eux. Soient : E et F deux espaces vectoriels sur un corps commutatif K, de dimensions respectives n et m ; B = (e, ... , e) une base de E, C une base de F ; φ une application de E dans F.

Transformation géométrique

Une transformation géométrique est une bijection d'une partie d'un ensemble géométrique dans lui-même. L'étude de la géométrie est en grande partie l'étude de ces transformations. Les transformations géométriques peuvent être classées selon la dimension de l'ensemble géométrique : principalement les transformations planes et les transformations dans l'espace. On peut aussi classer les transformations d'après leurs éléments conservés : Jusqu'à l'avant dernière, chacune de ces classes contient la précédente.

Application affine

En géométrie, une application affine est une application entre deux espaces affines qui est compatible avec leur structure. Cette notion généralise celle de fonction affine de R dans R (), sous la forme , où est une application linéaire et est un point. Une bijection affine (qui est un cas particulier de transformation géométrique) envoie les sous-espaces affines, comme les points, les droites ou les plans, sur le même type d'objet géométrique, tout en préservant la notion de parallélisme.

Espace affine

En géométrie, la notion d'espace affine généralise la notion d'espace issue de la géométrie euclidienne en omettant les notions d'angle et de distance. Dans un espace affine, on peut parler d'alignement, de parallélisme, de barycentre. Sous la forme qui utilise des rapports de mesures algébriques, qui est une notion affine, le théorème de Thalès et le théorème de Ceva sont des exemples de théorèmes de géométrie affine plane réelle (c'est-à-dire n'utilisant que la structure d'espace affine du plan réel).

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Séances de cours associées (64)

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Explore la convexité géodésique dans les espaces métriques et ses applications, en discutant des propriétés et de la stabilité des inégalités.

Théorie de l'information: Capacité du canal et fonctions convexes

Explore la capacité des canaux et les fonctions convexes dans la théorie de l'information, en soulignant l'importance de la convexité.

Ensembles et fonctions convexes

Introduit des ensembles et des fonctions convexes, en discutant des minimiseurs, des conditions d'optimalité et des caractérisations, ainsi que des exemples et des inégalités clés.

Transformations galiléennes : temps de l'espace et mesures

Explore les transformations galiliennes dans l'espace-temps, en se concentrant sur les mesures et les transformations coordonnées.

Mathématiques des données: Optimisation des bases

Couvre les bases de l'optimisation, y compris les normes, la continuité Lipschitz, et les concepts de convexité.

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Espace affine

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