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Séance de cours

Valeurs propres et matrices symétriques

Dans cours

MATH-111(e): Algèbre linéaire

L'objectif du cours est d'introduire les notions de base de l'algèbre linéaire et ses applications. ...

Description

Cette séance de cours couvre le concept de valeurs propres et de vecteurs propres d'une matrice, mettant l'accent sur les matrices symétriques. Il explique comment décomposer une matrice en une forme diagonale à l'aide d'eigenvectors et de eigenvalues. La séance de cours traite également des propriétés des matrices symétriques et de leurs valeurs propres, en mettant l'accent sur la relation entre la symétrie et les valeurs propres réelles.

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Regarder sur Mediaspace

Enseignant·e·s (2)

Nicolas Boumal

Jérôme Scherer

Source officielle

Proximité ontologique

Mathématiques

Algèbre: Algèbre linéaire

Concepts associés (32)

Décomposition d'une matrice en éléments propres

En algèbre linéaire, la décomposition d'une matrice en éléments propres est la factorisation de la matrice en une forme canonique où les coefficients matriciels sont obtenus à partir des valeurs propres et des vecteurs propres. Un vecteur non nul v à N lignes est un vecteur propre d'une matrice carrée A à N lignes et N colonnes si et seulement si il existe un scalaire λ tel que : où λ est appelé valeur propre associée à v. Cette dernière équation est appelée « équation aux valeurs propres ».

Valeur propre, vecteur propre et espace propre

En mathématiques, et plus particulièrement en algèbre linéaire, le concept de vecteur propre est une notion algébrique s'appliquant à une application linéaire d'un espace dans lui-même. Il correspond à l'étude des axes privilégiés, selon lesquels l'application se comporte comme une dilatation, multipliant les vecteurs par une même constante. Ce rapport de dilatation est appelé valeur propre, les vecteurs auxquels il s'applique s'appellent vecteurs propres, réunis en un espace propre.

Matrice symétrique

vignette|Matrice 5x5 symétrique. Les coefficients égaux sont représentés par la même couleur. En algèbre linéaire et multilinéaire, une matrice symétrique est une matrice carrée qui est égale à sa propre transposée, c'est-à-dire telle que a = a pour tous i et j compris entre 1 et n, où les a sont les coefficients de la matrice et n est son ordre. Les coefficients d'une matrice symétrique sont symétriques par rapport à la diagonale principale (du coin en haut à gauche jusqu'à celui en bas à droite).

Matrice antisymétrique

En mathématiques, et plus précisément en algèbre linéaire, une matrice antisymétrique est une matrice carrée opposée à sa transposée. Une matrice carrée A à coefficients dans un anneau quelconque est dite antisymétrique si sa transposée est égale à son opposée, c'est-à-dire si elle satisfait à l'équation : A = –A ou encore, en l'écrivant avec des coefficients sous la forme A = (ai,j), si : pour tout i et j, aj,i = –ai,j Les matrices suivantes sont antisymétriques : Le cas où la matrice est à coefficients dans un anneau de caractéristique 2 est très particulier.

Hermitien

Plusieurs entités mathématiques sont qualifiées d'hermitiennes en référence au mathématicien Charles Hermite. Produit scalaire#Généralisation aux espaces vectoriels complexesProduit scalaire hermitien Soit E un espace vectoriel complexe. On dit qu'une application f définie sur E x E dans C est une forme sesquilinéaire à gauche si quels que soient les vecteurs X, Y, Z appartenant à E, et a, b des scalaires : f est semi-linéaire par rapport à la première variable et f est linéaire par rapport à la deuxième variable Une telle forme est dite hermitienne (ou à symétrie hermitienne) si de plus : ou, ce qui est équivalent : Elle est dite hermitienne définie positive si pour tout vecteur .

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Séances de cours associées (34)

Analyse de corrélation canonique: Vue d'ensemble

Couvre l'analyse canonique de corrélation, une méthode pour trouver des relations entre deux ensembles de variables.

Sous-espaces, spectres et projections

Explore les sous-espaces, les spectres et les projections en algèbre linéaire, y compris les matrices symétriques et les projections orthogonales.

Techniques de diagonalisation: Méthode Jacobi

Explore la méthode Jacobi et les techniques de diagonalisation, y compris la transformation de similarité, les méthodes de puissance et la décomposition QR.

Récapitulation du théorème spectral

Revisite le théorème spectral pour les matrices symétriques, mettant l'accent sur les propriétés orthogonales diagonales et son équivalence avec les formes symétriques bilinéaires.

Algèbre linéaire

Couvre les bases de l'algèbre linéaire, y compris les opérations matricielles et la décomposition des valeurs singulières.

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Concepts associés (32)

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Valeur propre, vecteur propre et espace propre

Matrice symétrique

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