Algèbre de LieEn mathématiques, une algèbre de Lie, nommée en l'honneur du mathématicien Sophus Lie, est un espace vectoriel qui est muni d'un crochet de Lie, c'est-à-dire d'une loi de composition interne bilinéaire, alternée, et qui vérifie la relation de Jacobi. Une algèbre de Lie est un cas particulier d'algèbre sur un corps. Soit K un corps commutatif. Une algèbre de Lie sur K est un espace vectoriel sur K muni d'une application bilinéaire de dans qui vérifie les propriétés suivantes : Le produit est appelé crochet de Lie (ou simplement crochet) de et .
Application bilinéaireEn mathématiques, une application bilinéaire est un cas particulier d'application multilinéaire. Soient E, F et G trois espaces vectoriels sur un corps commutatif K et φ : E×F → G une application. On dit que φ est bilinéaire si elle est linéaire en chacune de ses variables, c'est-à-dire : Si G = K, on parle de forme bilinéaire. Le produit scalaire est une forme bilinéaire, car il est distributif sur la somme vectorielle, et associatif avec la multiplication par un scalaire : Soit A et B deux anneaux (non nécessairement commutatifs), E un A-module à gauche, F un B-module à droite et G un (A,B)-bimodule.
Lie group–Lie algebra correspondenceIn mathematics, Lie group–Lie algebra correspondence allows one to correspond a Lie group to a Lie algebra or vice versa, and study the conditions for such a relationship. Lie groups that are isomorphic to each other have Lie algebras that are isomorphic to each other, but the converse is not necessarily true. One obvious counterexample is and (see real coordinate space and the circle group respectively) which are non-isomorphic to each other as Lie groups but their Lie algebras are isomorphic to each other.
Forme bilinéaireEn mathématiques, plus précisément en algèbre linéaire, une forme bilinéaire est une application qui à un couple de vecteurs associe un scalaire, et qui a la particularité d'être linéaire en ses deux arguments. Autrement dit, étant donné un espace vectoriel V sur un corps commutatif K, il s'agit d'une application f : V × V → K telle que, pour tous et tous , Les formes bilinéaires sont naturellement introduites pour les produits scalaires.
Semisimple Lie algebraIn mathematics, a Lie algebra is semisimple if it is a direct sum of simple Lie algebras. (A simple Lie algebra is a non-abelian Lie algebra without any non-zero proper ideals). Throughout the article, unless otherwise stated, a Lie algebra is a finite-dimensional Lie algebra over a field of characteristic 0. For such a Lie algebra , if nonzero, the following conditions are equivalent: is semisimple; the Killing form, κ(x,y) = tr(ad(x)ad(y)), is non-degenerate; has no non-zero abelian ideals; has no non-zero solvable ideals; the radical (maximal solvable ideal) of is zero.
Espace vectorielvignette|Dans un espace vectoriel, on peut additionner deux vecteurs. Par exemple, la somme du vecteur v (en bleu) et w (en rouge) est v + w. On peut aussi multiplier un vecteur, comme le vecteur w que l'on peut multiplier par 2, on obtient alors 2w et la somme devient v + 2w. En mathématiques, plus précisément en algèbre linéaire, un espace vectoriel est un ensemble d'objets, appelés vecteurs, que l'on peut additionner entre eux, et que l'on peut multiplier par un scalaire (pour les étirer ou les rétrécir, les tourner, etc.
Théorème d'AdoIn abstract algebra, Ado's theorem is a theorem characterizing finite-dimensional Lie algebras. Ado's theorem states that every finite-dimensional Lie algebra L over a field K of characteristic zero can be viewed as a Lie algebra of square matrices under the commutator bracket. More precisely, the theorem states that L has a linear representation ρ over K, on a finite-dimensional vector space V, that is a faithful representation, making L isomorphic to a subalgebra of the endomorphisms of V.
Degenerate bilinear formIn mathematics, specifically linear algebra, a degenerate bilinear form f (x, y ) on a vector space V is a bilinear form such that the map from V to V∗ (the dual space of V ) given by v ↦ (x ↦ f (x, v )) is not an isomorphism. An equivalent definition when V is finite-dimensional is that it has a non-trivial kernel: there exist some non-zero x in V such that for all A nondegenerate or nonsingular form is a bilinear form that is not degenerate, meaning that is an isomorphism, or equivalently in finite dimensions, if and only if for all implies that .
Dimension d'un espace vectorielvignette|espace à zéro dimension. En algèbre linéaire, la dimension de Hamel ou simplement la dimension est un invariant associé à tout espace vectoriel E sur un corps K. La dimension de E est le cardinal commun à toutes ses bases. Ce nombre est noté dimK(E) (lire « dimension de E sur K ») ou dim(E) (s'il n'y a aucune confusion sur le corps K des scalaires). Si E admet une partie génératrice finie, alors sa dimension est finie et elle vaut le nombre de vecteurs constituant une base de E.
Représentation d'algèbre de LieEn mathématiques, une représentation d'une algèbre de Lie est une façon d'écrire cette algèbre comme une algèbre de matrices, ou plus généralement d'endomorphismes d'un espace vectoriel, avec le crochet de Lie donné par le commutateur. Algèbre de Lie Soit K un corps commutatif de caractéristique différente de 2. Une algèbre de Lie sur K est un espace vectoriel muni d'une application bilinéaire de dans qui vérifie les propriétés suivantes : Tout espace vectoriel peut être muni d'une structure d'algèbre de Lie, en posant .
Lie's third theoremIn the mathematics of Lie theory, Lie's third theorem states that every finite-dimensional Lie algebra over the real numbers is associated to a Lie group . The theorem is part of the Lie group–Lie algebra correspondence. Historically, the third theorem referred to a different but related result. The two preceding theorems of Sophus Lie, restated in modern language, relate to the infinitesimal transformations of a group action on a smooth manifold. The third theorem on the list stated the Jacobi identity for the infinitesimal transformations of a local Lie group.
Lie bracket of vector fieldsIn the mathematical field of differential topology, the Lie bracket of vector fields, also known as the Jacobi–Lie bracket or the commutator of vector fields, is an operator that assigns to any two vector fields X and Y on a smooth manifold M a third vector field denoted [X, Y]. Conceptually, the Lie bracket [X, Y] is the derivative of Y along the flow generated by X, and is sometimes denoted ("Lie derivative of Y along X"). This generalizes to the Lie derivative of any tensor field along the flow generated by X.
Espace graduéEn mathématiques, un espace gradué est un espace vectoriel ou plus généralement un groupe abélien muni d'une décomposition en somme directe de sous-espaces, indexée par un ensemble d'entiers (naturels ou relatifs) ou par un groupe cyclique. Une graduation est la donnée d'une telle décomposition. Une graduation facilite souvent les calculs, notamment en algèbre homologique, en ne travaillant qu'avec des éléments homogènes en chaque degré, ce qui permet par exemple de se ramener dans bien des cas à des espaces de dimension finie.
Affine Lie algebraIn mathematics, an affine Lie algebra is an infinite-dimensional Lie algebra that is constructed in a canonical fashion out of a finite-dimensional simple Lie algebra. Given an affine Lie algebra, one can also form the associated affine Kac-Moody algebra, as described below. From a purely mathematical point of view, affine Lie algebras are interesting because their representation theory, like representation theory of finite-dimensional semisimple Lie algebras, is much better understood than that of general Kac–Moody algebras.
Base (algèbre linéaire)vignette|Le même vecteur peut être représenté dans deux bases différentes (flèches violettes et rouges). En mathématiques, une base d'un espace vectoriel V est une famille de vecteurs de V linéairement indépendants et dont tout vecteur de V est combinaison linéaire. En d'autres termes, une base de V est une famille libre de vecteurs de V qui engendre V. alt=|vignette|upright=2|. La géométrie plane, celle d'Euclide, peut comporter une approche algébrique, celle de Descartes.
Lemme de SchurEn mathématiques et plus précisément en algèbre linéaire, le lemme de Schur est un lemme technique utilisé particulièrement dans la théorie de la représentation des groupes. Il a été démontré en 1907 par Issai Schur dans le cadre de ses travaux sur la théorie des représentations d'un groupe fini. Ce lemme est à la base de l'analyse d'un caractère d'une représentation d'un groupe fini ; il permet, par exemple, de caractériser les groupes abéliens finis.
Espace vectoriel topologiqueEn mathématiques, les espaces vectoriels topologiques sont une des structures de base de l'analyse fonctionnelle. Ce sont des espaces munis d'une structure topologique associée à une structure d'espace vectoriel, avec des relations de compatibilité entre les deux structures. Les exemples les plus simples d'espaces vectoriels topologiques sont les espaces vectoriels normés, parmi lesquels figurent les espaces de Banach, en particulier les espaces de Hilbert. Un espace vectoriel topologique (« e.v.t.
Forme bilinéaire symétriqueEn algèbre linéaire, une forme bilinéaire symétrique est une forme bilinéaire qui est symétrique. Les formes bilinéaires symétriques jouent un rôle important dans l'étude des quadriques. Soit V un espace vectoriel de dimension n sur un corps commutatif K. Une application est une forme bilinéaire symétrique sur l'espace si () : Les deux derniers axiomes impliquent seulement la linéarité par rapport à la « première variable » mais le premier permet d'en déduire la linéarité par rapport à la « deuxième variable ».
Sous-espace vectoriel engendréDans un espace vectoriel E, le sous-espace vectoriel engendré par une partie A de E est le plus petit sous-espace vectoriel de E contenant A. C'est aussi l'ensemble des combinaisons linéaires de vecteurs de A. Le sous-espace vectoriel engendré par une famille de vecteurs est le plus petit sous-espace contenant tous les vecteurs de cette famille. Une famille de vecteurs ou une partie est dite génératrice de E si le sous-espace qu'elle engendre est l'espace entier E.
Application linéaireEn mathématiques, une application linéaire (aussi appelée opérateur linéaire ou transformation linéaire) est une application entre deux espaces vectoriels qui respecte l'addition des vecteurs et la multiplication scalaire, et préserve ainsi plus généralement les combinaisons linéaires. L’expression peut s’utiliser aussi pour un morphisme entre deux modules sur un anneau, avec une présentation semblable en dehors des notions de base et de dimension. Cette notion étend celle de fonction linéaire en analyse réelle à des espaces vectoriels plus généraux.
