Mediaspace scheduled maintenance: Aug 25, 2026 07:00 - 12:00 AM. During this time, videos will be temporarily unavailable. Check status updates.

Séance de cours

Real Vector Space: Bases

Description

Cette séance de cours couvre les concepts fondamentaux des espaces vecteurs réels, y compris la définition de R^n comme ensemble de n-tuples de nombres réels, les propriétés des normes sur R^n, des exemples de normes telles que la norme euclidienne, et la définition d'un produit scalaire sur R^n. La séance de cours présente également les propriétés d'un produit scalaire, comme la symétrie et la bilinéarité, et explore la relation entre les normes et les produits scalaires dans les espaces euclidiens.

Source officielle

Proximité ontologique

Mathématiques

Algèbre: Algèbre linéaire

Concepts associés (32)

Espace vectoriel normé

Un espace vectoriel normé (EVN) est un espace vectoriel muni d'une norme. Cette structure mathématique développe des propriétés géométriques de distance compatible avec les opérations de l'algèbre linéaire. Développée notamment par David Hilbert et Stefan Banach, cette notion est fondamentale en analyse et plus particulièrement en analyse fonctionnelle, avec l'utilisation d'espaces de Banach tels que les espaces L. Norme (mathématiques) Soit K un corps commutatif muni d'une valeur absolue, et non discret (par exemple le corps des réels ou des complexes).

Espace préhilbertien

En mathématiques, un espace préhilbertien est défini comme un espace vectoriel réel ou complexe muni d'un produit scalaire. Cette notion généralise celles d'espace euclidien ou hermitien dans le cas d'une dimension quelconque, tout en conservant certaines bonnes propriétés géométriques des espaces de dimension finie grâce aux propriétés du produit scalaire, mais en perdant un atout de taille : un espace préhilbertien de dimension infinie n'est pas nécessairement complet. On peut cependant le compléter, pour obtenir un espace de Hilbert.

Multiplication par un scalaire

vignette|320x320px|Exemple de multiplication d'un vecteur par un scalaire En mathématiques, la multiplication par un scalaire est l'une des lois externes de base définissant un espace vectoriel en algèbre linéaire (ou plus généralement, un module en algèbre générale). Si K est un corps commutatif, la définition d'un espace vectoriel E sur K prescrit l'existence d'une loi de composition externe, une application de K × E dans E. L'image d'un couple (λ, v), pouvant être notée λv ou λ∙v, est la multiplication du vecteur v par le scalaire λ.

Norme (mathématiques)

En géométrie, la norme est une extension de la valeur absolue des nombres aux vecteurs. Elle permet de mesurer la longueur commune à toutes les représentations d'un vecteur dans un espace affine, mais définit aussi une distance entre deux vecteurs invariante par translation et compatible avec la multiplication externe. La norme usuelle dans le plan ou l'espace est dite euclidienne car elle est associée à un produit scalaire, à la base de la géométrie euclidienne.

Euclidean distance

In mathematics, the Euclidean distance between two points in Euclidean space is the length of a line segment between the two points. It can be calculated from the Cartesian coordinates of the points using the Pythagorean theorem, therefore occasionally being called the Pythagorean distance. These names come from the ancient Greek mathematicians Euclid and Pythagoras, although Euclid did not represent distances as numbers, and the connection from the Pythagorean theorem to distance calculation was not made until the 18th century.

Afficher plus

Séances de cours associées (42)

Produits scalaires et espaces euclidiens

Couvre la définition du produit scalaire, des propriétés, des exemples et des applications dans les espaces euclidiens, y compris l'inégalité Cauchy-Schwartz.

Matrices et transformations orthogonales MOOC: Algèbre Linéaire (Partie 3)

Explore les matrices et transformations orthogonales, en mettant l'accent sur la préservation des normes et des angles.

Espaces vectoriels et produits scalaires

Couvre les espaces vectoriels, les produits scalaires, les normes et les formes de polarisation dans les propriétés standard.

Produits Scalar: Définition, Exemples MOOC: Algèbre Linéaire (Partie 3)

Couvre la définition d'un produit scalaire sur un véritable espace vectoriel et fournit des exemples.

Espaces vectoriaux et topologie

Couvre les espaces vectoriels, la topologie et les méthodes d'épreuve comme le principe du pigeonnier dans R^n.

Afficher plus

Concepts associés (32)

Espace vectoriel normé

Espace préhilbertien

Multiplication par un scalaire

Norme (mathématiques)

Euclidean distance

Afficher plus