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Séance de cours

Espaces vectoriaux en R2 et R3

Description

Cette séance de cours couvre les concepts d'espaces vectoriels dans R2 et R3, y compris les équations des plans, des plans d'affines et des lignes. L'instructeur explique comment les représenter géométriquement et fournit des exemples pour illustrer les concepts.

Source officielle

Proximité ontologique

Mathématiques

Algèbre: Algèbre linéaire

Concepts associés (32)

Espace affine

En géométrie, la notion d'espace affine généralise la notion d'espace issue de la géométrie euclidienne en omettant les notions d'angle et de distance. Dans un espace affine, on peut parler d'alignement, de parallélisme, de barycentre. Sous la forme qui utilise des rapports de mesures algébriques, qui est une notion affine, le théorème de Thalès et le théorème de Ceva sont des exemples de théorèmes de géométrie affine plane réelle (c'est-à-dire n'utilisant que la structure d'espace affine du plan réel).

Application affine

En géométrie, une application affine est une application entre deux espaces affines qui est compatible avec leur structure. Cette notion généralise celle de fonction affine de R dans R (), sous la forme , où est une application linéaire et est un point. Une bijection affine (qui est un cas particulier de transformation géométrique) envoie les sous-espaces affines, comme les points, les droites ou les plans, sur le même type d'objet géométrique, tout en préservant la notion de parallélisme.

Groupe affine

Les automorphismes d'un espace affine A constituent un groupe appelé groupe affine de A et noté GA(A). En notant E l'espace vectoriel qui dirige A, l'application qui à tout automorphisme u de A fait correspondre l'automorphisme f de E associé à u est un morphisme du groupe affine GA(A) dans le groupe linéaire GL(E). Son noyau forme le groupe des translations. GA(A) est isomorphe au produit semi-direct du groupe additif de E par GL(E). Il est donc engendré par les translations, les transvections et les dilatations.

Géométrie affine

vignette|Géometrie affine La géométrie affine est la géométrie des espaces affines : il s'agit grossièrement d'ensembles de points définis par des propriétés spécifiques permettant de parler d'alignement, de parallélisme, d'intersection. Les notions de longueur et d'angle lui sont toutefois étrangères : elles dépendent de structures supplémentaires, traitées dans le cadre de la géométrie euclidienne. Dissocier les notions propres à la géométrie affine est récent dans l'histoire des mathématiques.

Espace vectoriel

vignette|Dans un espace vectoriel, on peut additionner deux vecteurs. Par exemple, la somme du vecteur v (en bleu) et w (en rouge) est v + w. On peut aussi multiplier un vecteur, comme le vecteur w que l'on peut multiplier par 2, on obtient alors 2w et la somme devient v + 2w. En mathématiques, plus précisément en algèbre linéaire, un espace vectoriel est un ensemble d'objets, appelés vecteurs, que l'on peut additionner entre eux, et que l'on peut multiplier par un scalaire (pour les étirer ou les rétrécir, les tourner, etc.

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