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Séance de cours

Algèbre linéaire : déterminants et applications

Dans cours

MATH-111(c): Algèbre linéaire

L'objectif du cours est d'introduire les notions de base de l'algèbre linéaire et ses applications. ...

Description

Cette séance de cours couvre la manipulation des déterminants en ajoutant des multiples de lignes ou de colonnes, le concept d'invariance de similarité, la formule de Cramer pour résoudre des systèmes linéaires et l'interprétation géométrique des déterminants dans les matrices 2x2 et 3x3.

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Proximité ontologique

Mathématiques

Algèbre: Algèbre linéaire

Concepts associés (32)

Déterminant (mathématiques)

vignette|L'aire du parallélogramme est la valeur absolue du déterminant de la matrice formée par les vecteurs correspondants aux côtés du parallélogramme. En mathématiques, le déterminant est une valeur qu'on peut associer aux matrices ou aux applications linéaires en dimension finie. Sur les exemples les plus simples, ceux de la géométrie euclidienne en dimension 2 ou 3, il s'interprète en termes d'aires ou de volumes, et son signe est relié à la notion d'orientation.

Produit matriciel

Le produit matriciel désigne la multiplication de matrices, initialement appelé la « composition des tableaux ». Il s'agit de la façon la plus fréquente de multiplier des matrices entre elles. En algèbre linéaire, une matrice A de dimensions m lignes et n colonnes (matrice m×n) représente une application linéaire ƒ d'un espace de dimension n vers un espace de dimension m. Une matrice colonne V de n lignes est une matrice n×1, et représente un vecteur v d'un espace vectoriel de dimension n. Le produit A×V représente ƒ(v).

Matrice (mathématiques)

thumb|upright=1.5 En mathématiques, les matrices sont des tableaux d'éléments (nombres, caractères) qui servent à interpréter en termes calculatoires, et donc opérationnels, les résultats théoriques de l'algèbre linéaire et même de l'algèbre bilinéaire. Toutes les disciplines étudiant des phénomènes linéaires utilisent les matrices. Quant aux phénomènes non linéaires, on en donne souvent des approximations linéaires, comme en optique géométrique avec les approximations de Gauss.

Adjugate matrix

In linear algebra, the adjugate or classical adjoint of a square matrix A is the transpose of its cofactor matrix and is denoted by adj(A). It is also occasionally known as adjunct matrix, or "adjoint", though the latter term today normally refers to a different concept, the adjoint operator which for a matrix is the conjugate transpose. The product of a matrix with its adjugate gives a diagonal matrix (entries not on the main diagonal are zero) whose diagonal entries are the determinant of the original matrix: where I is the identity matrix of the same size as A.

Règle de Cramer

La règle de Cramer (ou méthode de Cramer) est un théorème en algèbre linéaire qui donne la solution d'un système de Cramer, c'est-à-dire un système d'équations linéaires avec autant d'équations que d'inconnues et dont le déterminant de la matrice de coefficients est non nul, sous forme de quotients de déterminants. En calcul, la méthode est moins efficace que la méthode de résolution de Gauss pour des grands systèmes (à partir de quatre équations) dont les coefficients dans le premier membre sont explicitement donnés.

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