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Matrices diagonalisables : propriétés et bases

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Description

Cette séance de cours traite des propriétés des matrices diagonalisables, telles que la relation entre une matrice et sa forme diagonale, l'inversibilité et la base des espaces propres. Il couvre également la recherche de bases, de polynômes caractéristiques et de vecteurs propres de matrices.

Source officielle

Proximité ontologique

Mathématiques

Algèbre: Algèbre linéaire

Concepts associés (25)

Valeur propre, vecteur propre et espace propre

En mathématiques, et plus particulièrement en algèbre linéaire, le concept de vecteur propre est une notion algébrique s'appliquant à une application linéaire d'un espace dans lui-même. Il correspond à l'étude des axes privilégiés, selon lesquels l'application se comporte comme une dilatation, multipliant les vecteurs par une même constante. Ce rapport de dilatation est appelé valeur propre, les vecteurs auxquels il s'applique s'appellent vecteurs propres, réunis en un espace propre.

Generalized eigenvector

In linear algebra, a generalized eigenvector of an matrix is a vector which satisfies certain criteria which are more relaxed than those for an (ordinary) eigenvector. Let be an -dimensional vector space and let be the matrix representation of a linear map from to with respect to some ordered basis. There may not always exist a full set of linearly independent eigenvectors of that form a complete basis for . That is, the matrix may not be diagonalizable.

Paire de matrices commutantes

En mathématiques, une paire de matrices commutantes est une paire {A, B} de matrices carrées à coefficients dans un corps qui commutent, c'est-à-dire que AB = BA. L'étude des paires de matrices commutantes a des aspects tout à fait élémentaires et d'autres qui font l'objet de recherches en cours. L'énoncé de certains problèmes étudiés est assez élémentaire pour être présenté au niveau de la première année d'études supérieures. En voici un exemple : Une matrice nilpotente est une matrice dont une puissance est nulle.

Matrice diagonalisable

En mathématiques, une matrice diagonalisable est une matrice carrée semblable à une matrice diagonale. Cette propriété est équivalente à l'existence d'une base de vecteurs propres, ce qui permet de définir de manière analogue un endomorphisme diagonalisable d'un espace vectoriel. Le fait qu'une matrice soit diagonalisable dépend du corps dans lequel sont cherchées les valeurs propres, ce que confirme la caractérisation par le fait que le polynôme minimal soit scindé à racines simples.

Matrice normale

En algèbre linéaire, une matrice carrée A à coefficients complexes est une matrice normale si elle commute avec sa matrice adjointe A*, c'est-à-dire si A⋅A* = A*⋅A. Toutes les matrices hermitiennes, ou unitaires sont normales, en particulier, parmi les matrices à coefficients réels, toutes les matrices symétriques, antisymétriques ou orthogonales. Ce théorème — cas particulier du théorème de décomposition de Schur — est connu sous le nom de théorème spectral, et les éléments diagonaux de UAU sont alors les valeurs propres de A.

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Diagonalisation des matrices

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Polynômes caractéristiques et matrices similaires

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Diagonalisation des matrices : théorie et exemples

Couvre la théorie et les exemples de matrices de diagonalisation, en se concentrant sur les valeurs propres, les vecteurs propres et lindépendance linéaire.

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