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Construction d'un functeur à action libre

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Description

Cette séance de cours couvre la construction du functeur d'action libre dans le contexte de la théorie de groupe et de la théorie de catégorie. Il explique le concept du functeur d'action G libre comme l'adjoint gauche du functeur oublié, fournissant des définitions et des propriétés liées aux actions de groupe. La séance de cours traite également de la multiplication des groupes, définissant G comme un ensemble G avec des actions spécifiques. Il s'inscrit dans la définition du functeur d'action libre dans divers scénarios, soulignant l'importance de comprendre les actions de groupe et leurs applications.

Source officielle

Proximité ontologique

Mathématiques

Algèbre: Algèbre générale

Concepts associés (32)

Foncteur adjoint

L'adjonction est une situation omniprésente en mathématiques, et formalisée en théorie des catégories par la notion de foncteurs adjoints. Une adjonction entre deux catégories et est une paire de deux foncteurs et vérifiant que, pour tout objet X dans C et Y dans D, il existe une bijection entre les ensembles de morphismes correspondants et la famille de bijections est naturelle en X et Y. On dit que F et G sont des foncteurs adjoints et plus précisément, que F est « adjoint à gauche de G » ou que G est « adjoint à droite de F ».

Forgetful functor

In mathematics, in the area of , a forgetful functor (also known as a stripping functor) 'forgets' or drops some or all of the input's structure or properties 'before' mapping to the output. For an algebraic structure of a given signature, this may be expressed by curtailing the signature: the new signature is an edited form of the old one. If the signature is left as an empty list, the functor is simply to take the underlying set of a structure.

Foncteur

Dans la théorie des catégories, un foncteur est une construction transformant les objets et morphismes d'une catégorie en ceux d'une autre catégorie, d'une façon compatible. On parle alors d'une construction fonctorielle ou de fonctorialité. Une telle construction est donc un morphisme entre deux catégories. Historiquement, les foncteurs furent introduits en topologie algébrique, associant aux espaces topologiques et aux applications continues des objets algébriques tels que les groupes d'homotopie et les morphismes de groupes, permettant ainsi un véritable calcul d'invariants caractérisant ces espaces.

Monade (théorie des catégories)

Une monade est une construction catégorique qui mime formellement le comportement que les monoïdes ont en algèbre. Introduite par Roger Godement sous le nom de « construction standard », la notion est d'abord diffusée sous le nom de triple avant d'être baptisée monade par Jean Bénabou. Elles permettent notamment de formuler des adjonctions et ont (au travers des comonades) un rôle important en géométrie algébrique, notamment en théorie des topos. Elles permettent également de définir les , dont les .

Action de groupe (mathématiques)

En mathématiques, une action d'un groupe sur un ensemble est une loi de composition externe du groupe sur l'ensemble, vérifiant des conditions supplémentaires. Plus précisément, c'est la donnée, pour chaque élément du groupe, d'une permutation de l'ensemble, de telle manière que toutes ces bijections se composent de façon compatible avec la loi du groupe. Étant donné un ensemble E et un groupe G, dont la loi est notée multiplicativement et dont l'élément neutre est noté e, une action (ou opération) de G sur E est une application : vérifiant chacune des 2 propriétés suivantes : On dit également que G opère (ou agit) sur l'ensemble E.

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Séances de cours associées (64)

Catégories et Functors: Une introduction

Fournit un aperçu des catégories, des foncteurs et des transformations naturelles en mathématiques.

Adjonctions et limites: explorer les functors et les co-limites

Couvre les adjonctions et les limites, en se concentrant sur les foncteurs, les co-limites et leurs applications dans la théorie des catégories.

Groupes abéliens libres : théorie des groupes

Explore le concept de groupes abéliens libres en tant que foncteur adjoint gauche important.

Transformations naturelles en théorie de groupe

Introduit des transformations naturelles dans la théorie de groupe et la théorie de catégorie, en mettant l'accent sur leur définition et leur signification.

Théorie de catégorie: Ensembles G et Functor de gauche

Explore la construction des ensembles G et les functeurs adjoints de gauche dans la théorie de catégorie.

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Concepts associés (32)

Foncteur adjoint

Forgetful functor

Foncteur

Monade (théorie des catégories)

Action de groupe (mathématiques)

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