Architecture gothiquevignette|220px|Basilique Saint-Denis – gothique primitif (déambulatoire de 1240, façade sauf les tours avant 1240). Larchitecture gothique est un style architectural d'origine française qui s'est développée à partir de la seconde partie du Moyen Âge en Europe occidentale. Elle apparaît en Île-de-France et en Haute-Picardie au . Elle se diffuse rapidement au nord puis au sud de la Loire et en Europe jusqu'au milieu du et même jusqu'au dans certains pays.
Courbure de Gaussvignette|De gauche à droite : une surface de courbure de Gauss négative (un hyperboloïde), une surface de courbure nulle (un cylindre), et une surface de courbure positive (une sphère). vignette|Certains points du tore sont de courbure positive (points elliptiques) et d'autres de courbure négative (points hyperboliques) La courbure de Gauss, parfois aussi appelée courbure totale, d'une surface paramétrée X en X(P) est le produit des courbures principales. De manière équivalente, la courbure de Gauss est le déterminant de l'endomorphisme de Weingarten.
Tenseur de RicciDans le cadre de la relativité générale, le champ de gravitation est interprété comme une déformation de l'espace-temps. Celle-ci est exprimée à l'aide du tenseur de Ricci. Le tenseur de Ricci est un champ tensoriel d'ordre 2, obtenu comme la trace du tenseur de courbure complet. On peut le considérer comme le laplacien du tenseur métrique riemannien dans le cas des variétés riemaniennes. Le tenseur de Ricci occupe une place importante notamment dans l'équation d'Einstein, équation principale de la relativité générale.
Courbure principaleEn géométrie différentielle des surfaces, les deux courbures principales d'une surface sont les courbures de cette surface selon deux directions perpendiculaires appelées directions principales. On montre que ce sont les courbures minimale et maximale rencontrées en faisant tourner le plan de coupe. Les courbures principales sont les valeurs propres de l'endomorphisme de Weingarten. Elles caractérisent la géométrie locale des surfaces à l'ordre 2.
Courburevignette|Le déplacement d'une Dictyostelium discoideum dont la couleur du contour est fonction de la courbure. Échelle : 5 μm ; durée : 22 secondes. Intuitivement, courbe s'oppose à droit : la courbure d'un objet géométrique est une mesure quantitative du caractère « plus ou moins courbé » de cet objet. Par exemple : dans le plan euclidien, une ligne droite est un objet à une dimension de courbure nulle et un cercle un objet de courbure constante positive, valant 1/R (inverse du rayon) ; dans l'espace euclidien usuel à trois dimensions, un plan est un objet à deux dimensions de courbure nulle, et une sphère est un objet à deux dimensions de courbure constante positive.
Courbure scalaireEn géométrie riemannienne, la courbure scalaire (ou scalaire de Ricci) est un des outils de mesure de la courbure d'une variété riemannienne. Cet invariant riemannien est une fonction qui affecte à chaque point m de la variété un simple nombre réel noté R(m) ou s(m), portant une information sur la courbure intrinsèque de la variété en ce point. Ainsi, on peut décrire le comportement infinitésimal des boules et des sphères centrées en m à l'aide de la courbure scalaire.
Curvature of Riemannian manifoldsIn mathematics, specifically differential geometry, the infinitesimal geometry of Riemannian manifolds with dimension greater than 2 is too complicated to be described by a single number at a given point. Riemann introduced an abstract and rigorous way to define curvature for these manifolds, now known as the Riemann curvature tensor. Similar notions have found applications everywhere in differential geometry of surfaces and other objects. The curvature of a pseudo-Riemannian manifold can be expressed in the same way with only slight modifications.
Surface de RiemannEn géométrie différentielle et géométrie analytique complexe, une surface de Riemann est une variété complexe de dimension 1. Cette notion a été introduite par Bernhard Riemann pour prendre en compte les singularités et les complications topologiques qui accompagnent certains prolongements analytiques de fonctions holomorphes. Par oubli de structure, une surface de Riemann se présente comme une variété différentielle réelle de dimension 2, d'où le nom surface. Elles ont été nommées en hommage au mathématicien allemand Bernhard Riemann.
Surface minimaleEn mathématiques et en physique, une surface minimale est une surface minimisant son aire tout en réalisant une contrainte : un ensemble de points, ou le bord de la surface, est d'avance déterminé. Si un cerceau est retiré d'une bassine d'eau savonneuse, un disque de liquide reste fixé. Un souffle dessus déforme légèrement le disque en une calotte sphérique. Si l'étude fait appel à la mécanique des fluides, le traitement mathématique utilise le langage des surfaces minimales.
French Gothic architectureFrench Gothic architecture is an architectural style which emerged in France in 1140, and was dominant until the mid-16th century. The most notable examples are the great Gothic cathedrals of France, including Notre-Dame Cathedral, Reims Cathedral, Chartres Cathedral, and Amiens Cathedral. Its main characteristics are verticality, or height, and the innovative use of the rib vault and flying buttresses and other architectural innovations to distribute the weight of the stone structures to supports on the outside, allowing unprecedented height and volume.
Constant curvatureIn mathematics, constant curvature is a concept from differential geometry. Here, curvature refers to the sectional curvature of a space (more precisely a manifold) and is a single number determining its local geometry. The sectional curvature is said to be constant if it has the same value at every point and for every two-dimensional tangent plane at that point. For example, a sphere is a surface of constant positive curvature.
Style néogothiquevignette|Cathédrale de Cologne vue du sud, de style néogothique. Le style néogothique est un style architectural né au milieu du en Angleterre. Au , des styles néogothiques visent à faire revivre des formes médiévales qui contrastent avec les styles classiques dominants de l'époque. Le mouvement néogothique (appelé aussi « Renaissance gothique », sur le modèle anglais du Gothic Revival architecture) a eu une influence importante en Europe et en Amérique du Nord et il y a peut-être eu davantage d'architecture gothique construite aux qu'à la fin du Moyen Âge et au début de la Renaissance grâce à l'influence de ce style architectural.
CaténoïdeLa caténoïde (prononciation : ) (du latin catena, « chaîne ») est une surface minimale entre deux cercles. Dans le cas où ces deux cercles sont coaxiaux, c'est aussi la figure obtenue par révolution d'une chaînette autour de l'axe commun de ces deux cercles. C'est, avec le plan, la seule surface minimale de révolution. Elle fut découverte par Leonhard Euler en 1744. Elle a pour équations paramétriques : où cosh représente la fonction cosinus hyperbolique.
Architecture gothique anglaiseL'architecture gothique anglaise est caractéristique d'un style architectural originaire d'Angleterre qui s'est développé durant les années 1180 à 1520. Le style gothique anglais se caractérise par des arcs en ogive, des toitures voûtées, des contreforts, de grandes fenêtres ainsi que des flèches. Elle a été divisée en trois périodes distinctes (ou styles) auxquelles on peut en ajouter une quatrième définie comme le gothique primaire dit Early English.
VoûteUne voûte (ou voute) est un ouvrage architectural, souvent construit en brique, moellon, pierre, ou béton, dont le dessous (ou intrados) est fait en arc ou en plate-bande. Lorsqu'il est construit en pierre, il est formé par des voussoirs ou claveaux qui, par leurs dispositions, se soutiennent ensemble. On donne aux voûtes différentes dénominations suivant leur forme. Une voûtelette est une petite voûte. La surface intérieure ou concave d'une voûte (comme d'un arc ou d'un voussoir) est nommée intrados ; la surface extérieure convexe étant nommée extrados.
Surface régléeEn géométrie, une surface réglée est une surface par chaque point de laquelle passe une droite, appelée génératrice, contenue dans la surface. On peut décrire une surface réglée S en la considérant comme la réunion d'une famille de droites D(u) dépendant d'un paramètre u parcourant une partie I de l'ensemble des réels. Il suffit pour cela de se donner pour chaque u dans I un point P(u) et un vecteur directeur de D(u). On obtient alors une représentation paramétrique de la surface S : L'arc paramétré par est appelé une courbe directrice de S.
HélicoïdeUn hélicoïde est une surface s'appuyant sur une hélice et sur un axe. Elle fut découverte par Jean-Baptiste Marie Meusnier de La Place en 1776. C'est, avec le plan, la seule surface minimale réglée (c'est-à-dire pouvant être obtenue par déplacement d'une droite dans l'espace). Paramétrage : C'est par ailleurs la seule famille de solutions de la forme à l'équation locale d'Euler-Lagrange qui caractérise les surfaces minimales. On a longtemps cru que la caténoïde, l’hélicoïde et le plan étaient les seules surfaces minimales sans intersections.
Croisée d'ogivesLa croisée d'ogives est un facteur déterminant de l'essor de l'architecture gothique. Développée à partir de la fin du , en Normandie, elle constitue une structure d'arcs en plein-cintre puis brisés en voussoirs de pierre se rejoignant sur une clef au centre des diagonales d'une travée carrée, barlongue ou d'un hexagone puis couvert par un remplissage de voutains légers posés sur les nervures. Cette technique permet de reporter le poids et les poussées de la voûte aux pieds des arcs sur des sommiers contrebutés par des arcs-boutants.
Voûte d'arêtesvignette|250px|Arc de triomphe de Cáparra en Espagne, époque flavienne, fin du . La voûte d'arêtes (ou voûte d'arête) est un type de voûte très utilisé dans l'architecture depuis l'Antiquité. Ce type de voûte s'obtient par l'intersection de deux berceaux qui se croisent. Quand la voûte est obtenue en conservant les parties intérieures aux arêtes d'intersection, on obtient une voûte en arc-de-cloître.
Tenseur de Riemannvignette|Motivation de la courbure de Riemann pour les variétés sphériques. En géométrie riemannienne, le tenseur de courbure de Riemann-Christoffel est la façon la plus courante d'exprimer la courbure des variétés riemanniennes, ou plus généralement d'une variété disposant d'une connexion affine, avec ou sans torsion. Soit deux géodésiques d'un espace courbe, parallèles au voisinage d'un point P. Le parallélisme ne sera pas nécessairement conservé en d'autres points de l'espace.
