Convergence absolueEn mathématiques, une série numérique réelle ou complexe converge absolument si, par définition, la série des valeurs absolues (ou des modules) est convergente. Cette définition peut être étendue aux séries à valeurs dans un espace vectoriel normé et complet, soit un espace de Banach. Dans tous ces contextes, cette condition est suffisante pour assurer la convergence de la série elle-même. Par analogie, l'intégrale d'une fonction à valeurs réelles ou complexes converge absolument si, par définition, l'intégrale de la valeur absolue (ou du module) de la fonction est convergente (fonction dans L1).
Test de convergenceEn mathématiques, les tests de convergence sont des méthodes de test de la convergence, de la convergence absolue ou de la divergence d'une série . Appliqués aux séries entières, ils donnent des moyens de déterminer leur rayon de convergence. Pour que la série converge, il est nécessaire que . Par conséquent, si cette limite est indéfinie ou non nulle, alors la série diverge. La condition n'est pas suffisante, et, si la limite des termes est nulle, on ne peut rien conclure. Toute série absolument convergente converge.
Rayon de convergenceLe rayon de convergence d'une série entière est le nombre réel positif ou +∞ égal à la borne supérieure de l'ensemble des modules des nombres complexes où la série converge (au sens classique de la convergence simple): Si R est le rayon de convergence d'une série entière, alors la série est absolument convergente sur le disque ouvert D(0, R) de centre 0 et de rayon R. Ce disque est appelé disque de convergence. Cette convergence absolue entraine ce qui est parfois qualifié de convergence inconditionnelle : la valeur de la somme en tout point de ce disque ne dépend pas de l'ordre des termes.
Convergence inconditionnelleSoient X un groupe topologique abélien — par exemple un espace vectoriel normé — et (x) une suite d'éléments de X. On dit que la série ∑ x converge inconditionnellement ou qu'elle est commutativement convergente si, pour toute permutation σ : N → N, la série converge dans X. Toute série absolument convergente dans un espace de Banach X est inconditionnellement convergente. La réciproque est vraie si et seulement si X est de dimension finie. Une base de Schauder de X est dite inconditionnelle si pour tout x ∈ X, la série représentant x converge inconditionnellement.
Série convergenteEn mathématiques, une série est dite convergente si la suite de ses sommes partielles a une limite dans l'espace considéré. Dans le cas contraire, elle est dite divergente. Pour des séries numériques, ou à valeurs dans un espace de Banach — c'est-à-dire un espace vectoriel normé complet —, il suffit de prouver la convergence absolue de la série pour montrer sa convergence, ce qui permet de se ramener à une série à termes réels positifs. Pour étudier ces dernières, il existe une large variété de résultats, tous fondés sur le principe de comparaison.
Série entièreEn mathématiques et particulièrement en analyse, une série entière est une série de fonctions de la forme où les coefficients a forment une suite réelle ou complexe. Une explication de ce terme est qu'. Les séries entières possèdent des propriétés de convergence remarquables, qui s'expriment pour la plupart à l'aide de son rayon de convergence R, grandeur associée à la série. Sur le disque de convergence (disque ouvert de centre 0 et de rayon R), la fonction somme de la série peut être dérivée indéfiniment terme à terme.
Stokes' theoremStokes' theorem, also known as the Kelvin–Stokes theorem after Lord Kelvin and George Stokes, the fundamental theorem for curls or simply the curl theorem, is a theorem in vector calculus on . Given a vector field, the theorem relates the integral of the curl of the vector field over some surface, to the line integral of the vector field around the boundary of the surface. The classical theorem of Stokes can be stated in one sentence: The line integral of a vector field over a loop is equal to the flux of its curl through the enclosed surface.
Théorème de GreenEn mathématiques, le théorème de Green, ou théorème de Green-Riemann, donne la relation entre une intégrale curviligne le long d'une courbe simple fermée orientée C par morceaux et l'intégrale double sur la région du plan délimitée par cette courbe. Ce théorème, nommé d'après George Green et Bernhard Riemann, est un cas particulier du théorème de Stokes. thumb|upright=0.9|Domaine délimité par une courbe régulière par morceaux. Vu comme cas particulier du théorème de Stokes, le théorème s'écrit sous la forme suivante, en notant ∂D la courbe C et ω la forme différentielle.
Série formelleEn algèbre, les séries formelles sont une généralisation des polynômes autorisant des sommes infinies, de la même façon qu'en analyse, les séries entières généralisent les fonctions polynomiales, à ceci près que dans le cadre algébrique, les problèmes de convergence sont évités par des définitions ad hoc. Ces objets sont utiles pour décrire de façon concise des suites et pour trouver des formules pour des suites définies par récurrence via ce que l'on appelle les séries génératrices. Soit R un anneau commutatif (unifère).
Série (mathématiques)En mathématiques, la notion de série permet de généraliser la notion de somme finie. Étant donné une suite de terme général u, étudier la série de terme général u c'est étudier la suite obtenue en prenant la somme des premiers termes de la suite (u), autrement dit la suite de terme général S défini par : L'étude d'une série peut passer par la recherche d'une écriture simplifiée des sommes finies en jeu et par la recherche éventuelle d'une limite finie quand n tend vers l'infini.
General Dirichlet seriesIn the field of mathematical analysis, a general Dirichlet series is an infinite series that takes the form of where , are complex numbers and is a strictly increasing sequence of nonnegative real numbers that tends to infinity. A simple observation shows that an 'ordinary' Dirichlet series is obtained by substituting while a power series is obtained when . If a Dirichlet series is convergent at , then it is uniformly convergent in the domain and convergent for any where .
Conditional convergenceIn mathematics, a series or integral is said to be conditionally convergent if it converges, but it does not converge absolutely. More precisely, a series of real numbers is said to converge conditionally if exists (as a finite real number, i.e. not or ), but A classic example is the alternating harmonic series given by which converges to , but is not absolutely convergent (see Harmonic series). Bernhard Riemann proved that a conditionally convergent series may be rearranged to converge to any value at all, including ∞ or −∞; see Riemann series theorem.
Analyse réelleL'analyse réelle est la branche de l'analyse qui étudie les ensembles de réels et les fonctions de variables réelles. Elle étudie des concepts comme les suites et leurs limites, la continuité, la dérivation, l'intégration et les suites de fonctions. La présentation de l'analyse réelle dans les ouvrages avancés commence habituellement avec des démonstrations simples de résultats de la théorie naïve des ensembles, une définition claire de la notion de fonction, une introduction aux entiers naturels et la démonstration importante du raisonnement par récurrence.
Modes of convergenceIn mathematics, there are many senses in which a sequence or a series is said to be convergent. This article describes various modes (senses or species) of convergence in the settings where they are defined. For a list of modes of convergence, see Modes of convergence (annotated index) Note that each of the following objects is a special case of the types preceding it: sets, topological spaces, uniform spaces, TAGs (topological abelian groups), normed spaces, Euclidean spaces, and the real/complex numbers.
Série de LaurentCet article traite du développement en série de Laurent en analyse complexe. Pour la définition et les propriétés des séries de Laurent formelles en algèbre, veuillez consulter l'article Série formelle. En analyse complexe, la série de Laurent (aussi appelée développement de Laurent) d'une fonction holomorphe f est une manière de représenter f au voisinage d'une singularité, ou plus généralement, autour d'un « trou » de son domaine de définition. On représente f comme somme d'une série de puissances (d'exposants positifs ou négatifs) de la variable complexe.
Absolue continuitéEn mathématiques, et plus précisément en analyse, on définit, pour des fonctions définies sur un intervalle borné, la notion de fonction absolument continue, un peu plus forte que la notion de fonction uniformément continue, et garantissant de bonnes propriétés d'intégration ; on lui associe d'ailleurs la notion de mesure absolument continue. Le premier théorème fondamental de l'analyse a pour conséquence que toute fonction continue sur un intervalle réel est égale à la dérivée de sa fonction intégrale (au sens de Riemann) définie par .
