Séance de cours

Dualité, relaxation des contraintes

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Description

Cette séance de cours présente le concept de dualité dans les problèmes d'optimisation, en utilisant un exemple simple impliquant de gagner de l'argent en fonction de l'altitude et de rester dans les Alpes. Il explore ensuite la relaxation des contraintes dans les problèmes primaires, en présentant des solutions et des valeurs optimales.

Dans MOOC

Optimisation : principes et algorithmes - Optimisation linéaire

Ce que vous apprendrez Formulation : vous apprendrez à partir d'exemples simples comment formuler, transformer et caractériser un problème d'optimisation. Contraintes : vous apprendrez à représenter les contraintes d'un problème d'optimisation linéaire, à la fois d'un point de vue géométrique et algébrique. Dualité : vous apprendrez à dériver un problème complémentaire appelé "dual". Conditions d'optimalité : vous apprendrez les conditions suffisantes et nécessaires pour une solution optimale. Méthode du si

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Concepts associés (25)

Dualité (optimisation)

En théorie de l'optimisation, la dualité ou principe de dualité désigne le principe selon lequel les problèmes d'optimisation peuvent être vus de deux perspectives, le problème primal ou le problème dual, et la solution du problème dual donne une borne inférieure à la solution du problème (de minimisation) primal. Cependant, en général les valeurs optimales des problèmes primal et dual ne sont pas forcément égales : cette différence est appelée saut de dualité. Pour les problèmes en optimisation convexe, ce saut est nul sous contraintes.

Optimisation (mathématiques)

L'optimisation est une branche des mathématiques cherchant à modéliser, à analyser et à résoudre analytiquement ou numériquement les problèmes qui consistent à minimiser ou maximiser une fonction sur un ensemble. L’optimisation joue un rôle important en recherche opérationnelle (domaine à la frontière entre l'informatique, les mathématiques et l'économie), dans les mathématiques appliquées (fondamentales pour l'industrie et l'ingénierie), en analyse et en analyse numérique, en statistique pour l’estimation du maximum de vraisemblance d’une distribution, pour la recherche de stratégies dans le cadre de la théorie des jeux, ou encore en théorie du contrôle et de la commande.

Optimisation convexe

vignette|320x320px|Optimisation convexe dans un espace en deux dimensions dans un espace contraint L'optimisation convexe est une sous-discipline de l'optimisation mathématique, dans laquelle le critère à minimiser est convexe et l'ensemble admissible est convexe. Ces problèmes sont plus simples à analyser et à résoudre que les problèmes d'optimisation non convexes, bien qu'ils puissent être NP-difficile (c'est le cas de l'optimisation copositive). La théorie permettant d'analyser ces problèmes ne requiert pas la différentiabilité des fonctions.

Optimisation combinatoire

L’optimisation combinatoire, (sous-ensemble à nombre de solutions finies de l'optimisation discrète), est une branche de l'optimisation en mathématiques appliquées et en informatique, également liée à la recherche opérationnelle, l'algorithmique et la théorie de la complexité. Dans sa forme la plus générale, un problème d'optimisation combinatoire (sous-ensemble à nombre de solutions finies de l'optimisation discrète) consiste à trouver dans un ensemble discret un parmi les meilleurs sous-ensembles (ou solutions) réalisables, la notion de meilleure solution étant définie par une fonction objectif.

Relaxation continue

En informatique théorique et en recherche opérationnelle, la relaxation continue est une méthode qui consiste à interpréter de façon continue un problème combinatoire ou discret. Cette méthode est utilisée afin d'obtenir des informations sur le problème discret initial et parfois même pour obtenir sa solution. Les problèmes discrets ou combinatoires sont en effet très difficiles à traiter en raison de l'explosion combinatoire et il est courant de les traiter par une méthode de séparation et évaluation (branch and bound en anglais) : la relaxation continue fait partie des algorithmes d'évaluation nécessaire à la mise en œuvre de cette méthode.

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La dualité dans la programmation linéaire

Explore le concept de dualité dans la programmation linéaire, en discutant de la relation entre les problèmes primaires et duaux.

Dualité de programmation linéaire

Explore la dualité de programmation linéaire, couvrant la dualité faible, la dualité forte, l'interprétation des multiplicateurs de Lagrange et les contraintes d'optimisation.

Dualité de programmation linéaire

Couvre la dualité de programmation linéaire et la condition de relâchement complémentaire.

Hedging pour les LPs

Couvre le concept de couverture pour les programmes linéaires et la méthode simplex, en se concentrant sur la réduction des coûts et la recherche de solutions optimales.

Méthodes d'optimisation : discussion théorique

Explore les méthodes d'optimisation, y compris les problèmes sans contraintes, la programmation linéaire et les approches heuristiques.

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