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Séance de cours

Morphismes et déterminants de groupe

Description

Cette séance de cours porte sur les morphismes de groupe, les automorphismes et les déterminants dans le contexte des espaces K-vecteurs. Il introduit le concept de morphismes d'un groupe G à GL(V) et explore les propriétés de ces cartes. La séance de cours se penche également sur la définition et l'unicité du déterminant d'un espace vecteur par rapport à une base donnée, en mettant l'accent sur sa linéarité et ses propriétés d'alternance.

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Concepts associés (32)

Automorphism group

In mathematics, the automorphism group of an object X is the group consisting of automorphisms of X under composition of morphisms. For example, if X is a finite-dimensional vector space, then the automorphism group of X is the group of invertible linear transformations from X to itself (the general linear group of X). If instead X is a group, then its automorphism group is the group consisting of all group automorphisms of X. Especially in geometric contexts, an automorphism group is also called a symmetry group.

Espace vectoriel

vignette|Dans un espace vectoriel, on peut additionner deux vecteurs. Par exemple, la somme du vecteur v (en bleu) et w (en rouge) est v + w. On peut aussi multiplier un vecteur, comme le vecteur w que l'on peut multiplier par 2, on obtient alors 2w et la somme devient v + 2w. En mathématiques, plus précisément en algèbre linéaire, un espace vectoriel est un ensemble d'objets, appelés vecteurs, que l'on peut additionner entre eux, et que l'on peut multiplier par un scalaire (pour les étirer ou les rétrécir, les tourner, etc.

Automorphisme intérieur

Un automorphisme intérieur est une notion mathématique utilisée en théorie des groupes. Soient G un groupe et g un élément de G. On appelle automorphisme intérieur associé à g, noté ιg, l'automorphisme de G défini par : Pour un groupe abélien, les automorphismes intérieurs sont triviaux. Plus généralement, l'ensemble des automorphismes intérieurs de G forme un sous-groupe normal du groupe des automorphismes de G, et ce sous-groupe est isomorphe au groupe quotient de G par son centre.

Automorphisme

Un automorphisme est un isomorphisme d'un objet mathématique X dans lui-même. Le plus souvent, c'est une bijection de X dans X qui préserve la « structure » de X. On peut le voir comme une symétrie de X. Les automorphismes de X forment un groupe. La définition abstraite d'un automorphisme est la suivante : c'est un endomorphisme qui est en même temps un isomorphisme. Autrement dit, c'est un morphisme d'un objet X d'une catégorie donnée dans lui-même, qui est également un isomorphisme.

Théorie des groupes

vignette|Le Rubik's cube illustre la notion de groupes de permutations. Voir groupe du Rubik's Cube. La théorie des groupes est en mathématique, plus précisément en algèbre générale, la discipline qui étudie les structures algébriques appelées groupes. Le développement de la théorie des groupes est issu de la théorie des nombres, de la théorie des équations algébriques et de la géométrie. La théorie des groupes est étroitement liée à la théorie des représentations.

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Séances de cours associées (40)

Théorie du groupe: Rappels

Offre une récapitulation de la théorie de groupe, en mettant l'accent sur les applications linéaires et les bases.

Applications linéaires des espaces vectoriaux MOOC: Algèbre Linéaire (Partie 2)

Couvre les applications linéaires entre les espaces vectoriels, explorant leurs propriétés et unicité basées sur des bases.

Groupes de Lie: Représentations et Transformations

Explore les groupes de Lie, les champs scalaires et les transformations d'espaces vectoriels.

Formes ermitiennes : Définition et propriétés

Explore la définition et les propriétés des formes ermitiennes dans des espaces vectoriels complexes.

Groupes d'automorphisme : Arbres et graphiques III

Explore des groupes d'arbres et de graphiques d'automorphisme, y compris des actions sur les arbres et des homomorphismes de groupe.

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