ErgodicityIn mathematics, ergodicity expresses the idea that a point of a moving system, either a dynamical system or a stochastic process, will eventually visit all parts of the space that the system moves in, in a uniform and random sense. This implies that the average behavior of the system can be deduced from the trajectory of a "typical" point. Equivalently, a sufficiently large collection of random samples from a process can represent the average statistical properties of the entire process.
Gibbs measureIn mathematics, the Gibbs measure, named after Josiah Willard Gibbs, is a probability measure frequently seen in many problems of probability theory and statistical mechanics. It is a generalization of the canonical ensemble to infinite systems. The canonical ensemble gives the probability of the system X being in state x (equivalently, of the random variable X having value x) as Here, E is a function from the space of states to the real numbers; in physics applications, E(x) is interpreted as the energy of the configuration x.
Symétrie conformeEn physique théorique, la symétrie conforme désigne la symétrie sous changement d'échelle, on dit aussi sous dilatation, ainsi que sous les transformations conformes spéciales. Sa combinaison avec le groupe de Poincaré donne le groupe de symétrie conforme ou plus simplement, groupe conforme. Voici un exemple de représentation du groupe conforme dans l'espace-temps, ou plus précisément de son algèbre de Lie où les sont les générateurs associés au groupe de Lorentz, les génèrent les translations de l'espace-temps (les valeurs propres de ces derniers correspondant au quadrivecteur impulsion-énergie), engendre la transformation par dilatation et enfin les engendrent les transformations conformes spéciales.
Dimension fractaleEn géométrie fractale, la dimension fractale, D, est une grandeur qui a vocation à traduire la façon qu'a un ensemble fractal de remplir l'espace, à toutes les échelles. Dans le cas des fractales, elle est non entière et supérieure à la dimension topologique. Ce terme est un terme générique qui recouvre plusieurs définitions. Chacune peut donner des résultats différents selon l'ensemble considéré, il est donc essentiel de mentionner la définition utilisée lorsqu'on valorise la dimension fractale d'un ensemble.
Théorie de la percolationLa théorie de la percolation est une branche de la physique statistique et mathématique qui s'intéresse aux caractéristiques des milieux aléatoires, plus précisément aux ensembles de sommets connectés dans un graphe aléatoire. Cette théorie s'applique notamment en science des matériaux pour formaliser les propriétés d'écoulement dans les milieux poreux et pour la modélisation de phénomènes naturels, comme les incendies. L’histoire de la percolation prend ses racines dans l’industrie du charbon.
Théorie ergodiquevignette|Flux d'un ensemble statistique dans le potentiel x6 + 4*x3 - 5x**2 - 4x. Sur de longues périodes, il devient tourbillonnant et semble devenir une distribution lisse et stable. Cependant, cette stabilité est un artefact de la pixellisation (la structure réelle est trop fine pour être perçue). Cette animation est inspirée d'une discussion de Gibbs dans son wikisource de 1902 : Elementary Principles in Statistical Mechanics, Chapter XII, p. 143 : « Tendance d'un ensemble de systèmes isolés vers un état d'équilibre statistique ».
Phénomène critiquevignette|Point critique de l'éthane : 1. état subcritique, liquide et gaz ; 2. opalescence critique ; 3. fluide supercritique. En physique, un phénomène critique est un phénomène associé à une transition de phase du deuxième ordre d'un système thermodynamique. Par exemple la transition de phase ferromagnétique et le comportement au voisinage du point critique liquide-gaz. La plupart des phénomènes critiques proviennent d'une divergence de la ou d'un ralentissement de la dynamique.
Processus ergodiqueUn est un processus stochastique pour lequel les statistiques peuvent être approchées par l'étude d'une seule réalisation suffisamment longue. Le théorème ergodique affirme que, sous condition, converge vers une limite pour presque toutes les réalisations , mais ne garantit pas l'égalité des à l'espérance . Un signal peut être: stationnaire mais non ergodique : par exemple le signal constant pour chaque réalisation. ergodique mais non stationnaire : par exemple le signal .
Théorie conforme des champsUne théorie conforme des champs ou théorie conforme (en anglais, conformal field theory ou CFT) est une variété particulière de théorie quantique des champs admettant le comme groupe de symétrie. Ce type de théorie est particulièrement étudié lorsque l'espace-temps y est bi-dimensionnel car en ce cas le groupe conforme est de dimension infinie et bien souvent la théorie est alors exactement soluble.
Invariant measureIn mathematics, an invariant measure is a measure that is preserved by some function. The function may be a geometric transformation. For examples, circular angle is invariant under rotation, hyperbolic angle is invariant under squeeze mapping, and a difference of slopes is invariant under shear mapping. Ergodic theory is the study of invariant measures in dynamical systems. The Krylov–Bogolyubov theorem proves the existence of invariant measures under certain conditions on the function and space under consideration.
Percolation critical exponentsIn the context of the physical and mathematical theory of percolation, a percolation transition is characterized by a set of universal critical exponents, which describe the fractal properties of the percolating medium at large scales and sufficiently close to the transition. The exponents are universal in the sense that they only depend on the type of percolation model and on the space dimension. They are expected to not depend on microscopic details such as the lattice structure, or whether site or bond percolation is considered.
Two-dimensional conformal field theoryA two-dimensional conformal field theory is a quantum field theory on a Euclidean two-dimensional space, that is invariant under local conformal transformations. In contrast to other types of conformal field theories, two-dimensional conformal field theories have infinite-dimensional symmetry algebras. In some cases, this allows them to be solved exactly, using the conformal bootstrap method. Notable two-dimensional conformal field theories include minimal models, Liouville theory, massless free bosonic theories, Wess–Zumino–Witten models, and certain sigma models.
Transition de phasevignette|droite|Noms exclusifs des transitions de phase en thermodynamique. En physique, une transition de phase est la transformation physique d'un système d'une phase vers une autre, induite par la variation d'un paramètre de contrôle externe (température, champ magnétique...). Une telle transition se produit lorsque ce paramètre externe atteint une valeur seuil (ou valeur « critique »). La transformation traduit généralement un changement des propriétés de symétrie du système.
Topologievignette|Déformation continue d'une tasse avec une anse, en un tore (bouée). thumb|Un ruban de Möbius est une surface fermée dont le bord se réduit à un cercle. De tels objets sont des sujets étudiés par la topologie. La topologie est la branche des mathématiques qui étudie les propriétés d'objets géométriques préservées par déformation continue sans arrachage ni recollement, comme un élastique que l’on peut tendre sans le rompre.
Théorie de LiouvilleIn physics, Liouville field theory (or simply Liouville theory) is a two-dimensional conformal field theory whose classical equation of motion is a generalization of Liouville's equation. Liouville theory is defined for all complex values of the central charge of its Virasoro symmetry algebra, but it is unitary only if and its classical limit is Although it is an interacting theory with a continuous spectrum, Liouville theory has been solved. In particular, its three-point function on the sphere has been determined analytically.
Théorie des probabilitésLa théorie des probabilités en mathématiques est l'étude des phénomènes caractérisés par le hasard et l'incertitude. Elle forme avec la statistique les deux sciences du hasard qui sont partie intégrante des mathématiques. Les débuts de l'étude des probabilités correspondent aux premières observations du hasard dans les jeux ou dans les phénomènes climatiques par exemple. Bien que le calcul de probabilités sur des questions liées au hasard existe depuis longtemps, la formalisation mathématique n'est que récente.
Probabilitévignette|Quatre dés à six faces de quatre couleurs différentes. Les six faces possibles sont visibles. Le terme probabilité possède plusieurs sens : venu historiquement du latin probabilitas, il désigne l'opposé du concept de certitude ; il est également une évaluation du caractère probable d'un événement, c'est-à-dire qu'une valeur permet de représenter son degré de certitude ; récemment, la probabilité est devenue une science mathématique et est appelée théorie des probabilités ou plus simplement probabilités ; enfin une doctrine porte également le nom de probabilisme.
Topologie de l'ordreEn mathématiques, la topologie de l'ordre est une topologie naturelle définie sur tout ensemble ordonné (E, ≤), et qui dépend de la relation d'ordre ≤. Lorsque l'on définit la topologie usuelle de la droite numérique R, deux approches équivalentes sont possibles. On peut se fonder sur la relation d'ordre dans R, ou sur la valeur absolue de la distance entre deux nombres. Les égalités ci-dessous permettent de passer de l'une à l'autre : La valeur absolue se généralise en la notion de distance, qui induit le concept de topologie d'un espace métrique.
Topologie finaleEn mathématiques et plus précisément en topologie, la topologie finale, sur un ensemble d'arrivée commun à une famille d'applications définies chacune sur un espace topologique, est la topologie la plus fine pour laquelle toutes ces applications sont continues. La notion duale est celle de topologie initiale. Soient X un ensemble, (Y) une famille d'espaces topologiques et pour chaque indice i ∈ I, une application f : Y → X. La topologie finale sur X associée à la famille (f) est la plus fine des topologies sur X pour lesquelles chaque f est continue.
Exposant critiqueLors d'une transition de phase de deuxième ordre, au voisinage du point critique, les systèmes physiques ont des comportements universels en lois de puissances caractérisées par des exposants critiques. Au point critique, un fluide est caractérisé par une température critique et une densité critique . Pour une température légèrement supérieure à (à nombre de particules et volume constants), le système est homogène avec une densité . Pour une température légèrement inférieure à , il y a une séparation de phase entre une phase liquide (de densité ) et une phase gazeuse (de densité ).
