Mediaspace scheduled maintenance: Aug 25, 2026 07:00 - 12:00 AM. During this time, videos will be temporarily unavailable. Check status updates.

Séance de cours

Sous-variétés et concepts topologiques

Dans cours

MATH-213: Differential geometry I - curves and surfaces

This course serves as an introduction to classical differential geometry, which studies the geometric properties of curves and surfaces in the Euclidean space. ...

Description

Cette séance de cours introduit le concept de sous-variétés dans différentes dimensions, illustrant des exemples et des propriétés telles que des sous-ensembles discrets ou isolés. Il couvre des sujets tels que les valets topologiques, la différentiabilité et les applications des théorèmes dans la compréhension des sous-variétés.

Enseignant·e

Marc Troyanov

Doctorat en mathématiques à l'Université de Genève (1987) - Postdoc à Paris et Salt-Lake City, puis professeur assistant à l'UQAM (Montréal). Venu en 1993 à l'EPFL comme professeur assistant, nommé MER en 1999 puis professeur titulaire en 2005. Domaine de recherche : géométrie différentielle, analyse sur les variétés et sur les espaces métriques.

Source officielle

Concepts associés (32)

Point isolé

En topologie, un point x d'un espace topologique E est dit isolé si le singleton {x} est un ouvert. Formulations équivalentes : {x} est un voisinage de x ; x n'est pas adhérent à E{x} (x n'est pas un « point d'accumulation »). En particulier, si E est un espace métrique (par exemple une partie d'un espace euclidien), x est un point isolé de E s'il existe une boule ouverte centrée en x qui ne contient pas d'autre point de E. Un espace topologique dans lequel tout point est isolé est dit discret.

Topologie discrète

En mathématiques, plus précisément en topologie, la topologie discrète sur un ensemble est une structure d'espace topologique où, de façon intuitive, tous les points sont « isolés » les uns des autres. Soit X un ensemble. L'ensemble des parties de X définit une topologie sur X appelée topologie discrète. X muni de cette topologie est alors appelé espace discret. On dit qu'une partie A d'un espace topologique X est un ensemble discret lorsque la topologie induite sur A est la topologie discrète.

Dimension

Le terme dimension, du latin dimensio « action de mesurer », désigne d’abord chacune des grandeurs d’un objet : longueur, largeur et profondeur, épaisseur ou hauteur, ou encore son diamètre si c'est une pièce de révolution. L’acception a dérivé de deux façons différentes en physique et en mathématiques. En physique, la dimension qualifie une grandeur indépendamment de son unité de mesure, tandis qu’en mathématiques, la notion de dimension correspond au nombre de grandeurs nécessaires pour identifier un objet, avec des définitions spécifiques selon le type d’objet (algébrique, topologique ou combinatoire notamment).

Point d'accumulation (mathématiques)

En mathématiques, un point d'accumulation d'une partie A d'un espace topologique E est un point x de E qui peut être « approché » par des points de A au sens où chaque voisinage de x – pour la topologie de E – contient un point de A distinct de x. Un tel point x n'est pas nécessairement un point de A. Ce concept généralise la notion de limite, et permet de définir des notions comme les espaces fermés et l'adhérence. De fait, pour qu'un espace soit fermé, il faut et il suffit qu'il contienne tous ses points d'accumulation.

Point stationnaire

350px|thumb|right|Les points stationnaires de la fonction sont marquées par des ronds rouges. Dans ce cas, ce sont des extrema locaux. Les carrés bleus désignent les points d'inflexion. En analyse réelle, un point stationnaire ou point critique d'une fonction dérivable d'une variable réelle est un point de son graphe où sa dérivée s'annule. Visuellement, cela se traduit par un point où la fonction arrête de croître ou de décroître. Pour une fonction de plusieurs variables réelles, un point stationnaire (critique) est un point où le gradient s'annule.

Afficher plus

Séances de cours associées (32)

Topologie des surfaces de Riemann

Couvre la topologie des surfaces de Riemann, en se concentrant sur l'orientation et l'orientabilité.

Fonctions continues : Définition MOOC: Analyse I MOOC: Analyse I (partie 4) : Limite d'une fonction, fonctions continues

Explique la définition des fonctions continues et des points isolés.

Analyse des données textuelles: réduction de la classification et de la dimensionnalité

Explore la classification des données textuelles, en se concentrant sur des méthodes telles que les bayes naïques et les techniques de réduction de la dimensionnalité telles que l'analyse des composantes principales.

Test de réflexion computationnelle : évaluation et conception

Présente un test permettant d'évaluer les aptitudes à la pensée computationnelle, de discuter de sa conception, de l'analyse des outils précédents, de la question de l'échantillon et des résultats de l'étude.

Théorie du chaos: Fractales et dimensionnalité

Explore les systèmes chaotiques, les fractales et les dimensions de la Théorie du Chaos.

Afficher plus

Concepts associés (32)

Point isolé

Topologie discrète

Dimension

Point d'accumulation (mathématiques)

Point stationnaire

Afficher plus