Action de groupe (mathématiques)En mathématiques, une action d'un groupe sur un ensemble est une loi de composition externe du groupe sur l'ensemble, vérifiant des conditions supplémentaires. Plus précisément, c'est la donnée, pour chaque élément du groupe, d'une permutation de l'ensemble, de telle manière que toutes ces bijections se composent de façon compatible avec la loi du groupe. Étant donné un ensemble E et un groupe G, dont la loi est notée multiplicativement et dont l'élément neutre est noté e, une action (ou opération) de G sur E est une application : vérifiant chacune des 2 propriétés suivantes : On dit également que G opère (ou agit) sur l'ensemble E.
Groupe de permutationsEn théorie des groupes (mathématiques), un groupe de permutations d'un ensemble X est par définition un sous-groupe du groupe symétrique SX. On parle d'un groupe de permutations de X ou, s'il n'est pas nécessaire de préciser l'ensemble X, d'un groupe de permutations. Pour un ensemble X, nous désignerons ici par SX et nous appellerons groupe symétrique de X l'ensemble des permutations de X, muni de la loi de groupe ∘ définie par f ∘ g : X → X, x ↦ f(g(x)). Cette définition convient à l'étude des actions à gauche d'un groupe sur un ensemble.
Groupe général linéaireEn mathématiques, le groupe général linéaire — ou groupe linéaire — de degré n d’un corps commutatif K (ou plus généralement d'un anneau commutatif unifère) est le groupe des matrices inversibles de taille n à coefficients dans K, muni du produit matriciel. On le note GL(K) ou GL(n, K) et il représente les automorphismes de l’espace vectoriel K. Ce groupe est non abélien dès lors que n > 1. Lorsque K est un corps commutatif, l’ensemble GL(n, K) est en outre un ouvert pour la topologie de Zariski.
Groupe spécial linéaireEn mathématiques, le groupe spécial linéaire de degré n sur un corps commutatif K est le groupe SL(K) des matrices carrées d'ordre n sur K dont le déterminant est égal à 1. Plus intrinsèquement, le groupe spécial linéaire d'un espace vectoriel E de dimension finie sur K est le groupe SL(E) des éléments du groupe général linéaire GL(E) dont le déterminant est égal à 1. Cette définition admet différentes généralisations : une, immédiate, sur un anneau commutatif et deux variantes sur des corps non nécessairement commutatifs, dont l'une sur des corps qui sont de dimension finie sur leur centre.
Treillis (ensemble ordonné)En mathématiques, un treillis () est une des structures algébriques utilisées en algèbre générale. C'est un ensemble partiellement ordonné dans lequel chaque paire d'éléments admet une borne supérieure et une borne inférieure. Un treillis peut être vu comme le treillis de Galois d'une relation binaire. Il existe en réalité deux définitions équivalentes du treillis, une concernant la relation d'ordre citée précédemment, l'autre algébrique. Tout ensemble muni d'une relation d'ordre total est un treillis.
Projective linear groupIn mathematics, especially in the group theoretic area of algebra, the projective linear group (also known as the projective general linear group or PGL) is the induced action of the general linear group of a vector space V on the associated projective space P(V). Explicitly, the projective linear group is the quotient group PGL(V) = GL(V)/Z(V) where GL(V) is the general linear group of V and Z(V) is the subgroup of all nonzero scalar transformations of V; these are quotiented out because they act trivially on the projective space and they form the kernel of the action, and the notation "Z" reflects that the scalar transformations form the center of the general linear group.
Démonstration (logique et mathématiques)vignette| : un des plus vieux fragments des Éléments d'Euclide qui montre une démonstration mathématique. En mathématiques et en logique, une démonstration est un ensemble structuré d'étapes correctes de raisonnement. Dans une démonstration, chaque étape est soit un axiome (un fait acquis), soit l'application d'une règle qui permet d'affirmer qu'une proposition, la conclusion, est une conséquence logique d'une ou plusieurs autres propositions, les prémisses de la règle.
Complete latticeIn mathematics, a complete lattice is a partially ordered set in which all subsets have both a supremum (join) and an infimum (meet). A lattice which satisfies at least one of these properties is known as a conditionally complete lattice. Specifically, every non-empty finite lattice is complete. Complete lattices appear in many applications in mathematics and computer science. Being a special instance of lattices, they are studied both in order theory and universal algebra.
Relation transitiveEn mathématiques, une relation transitive est une relation binaire pour laquelle une suite d'objets reliés consécutivement aboutit à une relation entre le premier et le dernier. Formellement, la propriété de transitivité s'écrit, pour une relation définie sur un ensemble : Une relation binaire non transitive est donc une relation pour laquelle la propriété universelle ci-dessus est fausse, c'est-à-dire qu'il existe un élément en relation avec un deuxième qui lui-même est en relation avec un troisième, sans que le premier soit en relation avec le troisième : C'est le cas de l'orthogonalité de droites, par exemple.
Groupe de MathieuEn mathématiques, les groupes de Mathieu sont cinq groupes simples finis découverts par le mathématicien français Émile Mathieu. Ils sont habituellement perçus comme des groupes de permutations sur n points (où n peut prendre les valeurs 11, 12, 22, 23 ou 24) et sont nommés M. Les groupes de Mathieu ont été les premiers groupes sporadiques découverts. Les groupes M et M sont 5-transitifs, les groupes M et M sont 4-transitifs et M est 3-transitif. Cette transitivité est même stricte pour M et M.
Fermeture transitiveLa fermeture transitive est une opération mathématique pouvant être appliquée sur des relations binaires sur un ensemble, autrement dit sur des graphes orientés. La clôture transitive, ou fermeture transitive R d'une relation binaire R sur un ensemble X est la relation ce qui peut également se traduire ainsi : Si on nomme la relation "il existe un chemin de taille n entre a et b" On définit C'est la plus petite relation transitive sur X contenant R.
Proof by contradictionIn logic, proof by contradiction is a form of proof that establishes the truth or the validity of a proposition, by showing that assuming the proposition to be false leads to a contradiction. Although it is quite freely used in mathematical proofs, not every school of mathematical thought accepts this kind of nonconstructive proof as universally valid. More broadly, proof by contradiction is any form of argument that establishes a statement by arriving at a contradiction, even when the initial assumption is not the negation of the statement to be proved.
OpenGLthumb|500px|Un traitement de pipeline 3D (Graphics Pipeline Process). OpenGL (Open Graphics Library) est un ensemble normalisé de fonctions de calcul d'images 2D ou 3D lancé par Silicon Graphics en 1992. Cette interface de programmation est disponible sur de nombreuses plateformes où elle est utilisée pour des applications qui vont du jeu vidéo jusqu'à la CAO en passant par la modélisation. OpenGL permet à un programme de déclarer la géométrie d'objets sous forme de points, de vecteurs, de polygones, de bitmaps et de textures.
Computer-assisted proofA computer-assisted proof is a mathematical proof that has been at least partially generated by computer. Most computer-aided proofs to date have been implementations of large proofs-by-exhaustion of a mathematical theorem. The idea is to use a computer program to perform lengthy computations, and to provide a proof that the result of these computations implies the given theorem. In 1976, the four color theorem was the first major theorem to be verified using a computer program.
Richard FeynmanRichard Phillips Feynman (1918-1988) est un physicien américain, l'un des plus influents de la seconde moitié du , en raison notamment de ses travaux sur l'électrodynamique quantique, les quarks et l'hélium superfluide. Il reformula entièrement la mécanique quantique à l'aide de son intégrale de chemin (qui généralise le principe de moindre action de la mécanique classique), et inventa les diagrammes qui portent son nom et qui sont désormais largement utilisés en théorie quantique des champs (dont l'électrodynamique quantique fait partie).
San FranciscoSan Francisco (signifiant en espagnol, prononcé en anglais américain : et en français ), officiellement « ville et comté de San Francisco » (en anglais : « City and County of San Francisco »), est une ville des États-Unis et l'un des comtés de l'État de Californie. Elle est située à l'extrémité nord de la péninsule de San Francisco, entre l'océan Pacifique à l'ouest et la baie de San Francisco à l'est. Son nom est couramment abrégé en « SF » et la ville est surnommée « The City by the Bay » (« La ville sur la baie »).
San AntonioLa ville de San Antonio (en anglais , littéralement « Saint-Antoine » en espagnol) est le siège du comté de Bexar, dans le sud de l'État du Texas, aux États-Unis. Lors du recensement fédéral de 2020, sa population était de , ce qui en fait la septième ville du pays et la seconde du Texas. Son aire urbaine, quant à elle, regroupait en 2010 (la des États-Unis). San Antonio est une importante ville militaire ainsi qu'un centre de la haute technologie et du tourisme (dont la principale attraction est l'Alamo, où Davy Crockett et ses compagnons trouvèrent la mort en 1836 en résistant à l'armée mexicaine).
Terrorisme islamisteLe terrorisme islamiste, terrorisme djihadiste ou terrorisme islamique fait référence aux attentats et aux autres actions de terrorisme commis par les membres ou sympathisants de mouvements islamistes. L'objectif visé par le terrorisme islamiste est la promotion d'une vision religieuse radicale du monde. Les organisations qui y recourent le perçoivent comme un commandement divin.
Réseau de BravaisEn cristallographie, un réseau de Bravais est une distribution régulière de points – appelés nœuds – dans l’espace qui représente la périodicité de la distribution atomique d’un cristal. Les nœuds peuvent être imaginés comme les sommets des mailles, c'est-à-dire des portions de l'espace dans lesquelles la structure cristalline peut être divisée. La structure est alors reconstruite par simple translation de la maille.
Guerre du LibanLa guerre du Liban, ou guerre civile libanaise (en arabe : الحرب الأهلية اللبنانية, al-ḥarb al-ahliyyah al-libnāniyyah) est une guerre civile qui se déroule de 1975 à 1990 au Liban. Elle fait entre et et cause l'exode de presque un million de personnes. La guerre est complexe, marquée par des déchirements entre communautés (chrétiens contre Druzes, Palestiniens contre chrétiens), au sein même des communautés (chrétiens contre chrétiens, chiites contre chiites) et par des interventions étrangères (Syrie, Ligue arabe, Israël, Iran, France).
