Matrice symétriquevignette|Matrice 5x5 symétrique. Les coefficients égaux sont représentés par la même couleur. En algèbre linéaire et multilinéaire, une matrice symétrique est une matrice carrée qui est égale à sa propre transposée, c'est-à-dire telle que a = a pour tous i et j compris entre 1 et n, où les a sont les coefficients de la matrice et n est son ordre. Les coefficients d'une matrice symétrique sont symétriques par rapport à la diagonale principale (du coin en haut à gauche jusqu'à celui en bas à droite).
Matrice antisymétriqueEn mathématiques, et plus précisément en algèbre linéaire, une matrice antisymétrique est une matrice carrée opposée à sa transposée. Une matrice carrée A à coefficients dans un anneau quelconque est dite antisymétrique si sa transposée est égale à son opposée, c'est-à-dire si elle satisfait à l'équation : A = –A ou encore, en l'écrivant avec des coefficients sous la forme A = (ai,j), si : pour tout i et j, aj,i = –ai,j Les matrices suivantes sont antisymétriques : Le cas où la matrice est à coefficients dans un anneau de caractéristique 2 est très particulier.
Matrice orthogonaleUne matrice carrée A (n lignes, n colonnes) à coefficients réels est dite orthogonale si A A = I, où A est la matrice transposée de A et I est la matrice identité. Des exemples de matrices orthogonales sont les matrices de rotation, comme la matrice de rotation plane d'angle θ ou les matrices de permutation, comme Une matrice réelle A est orthogonale si et seulement si elle est inversible et son inverse est égale à sa transposée : A = A. Une matrice carrée est orthogonale si et seulement si ses vecteurs colonnes sont orthogonaux deux à deux et de norme 1.
HermitienPlusieurs entités mathématiques sont qualifiées d'hermitiennes en référence au mathématicien Charles Hermite. Produit scalaire#Généralisation aux espaces vectoriels complexesProduit scalaire hermitien Soit E un espace vectoriel complexe. On dit qu'une application f définie sur E x E dans C est une forme sesquilinéaire à gauche si quels que soient les vecteurs X, Y, Z appartenant à E, et a, b des scalaires : f est semi-linéaire par rapport à la première variable et f est linéaire par rapport à la deuxième variable Une telle forme est dite hermitienne (ou à symétrie hermitienne) si de plus : ou, ce qui est équivalent : Elle est dite hermitienne définie positive si pour tout vecteur .
Square matrixIn mathematics, a square matrix is a matrix with the same number of rows and columns. An n-by-n matrix is known as a square matrix of order . Any two square matrices of the same order can be added and multiplied. Square matrices are often used to represent simple linear transformations, such as shearing or rotation. For example, if is a square matrix representing a rotation (rotation matrix) and is a column vector describing the position of a point in space, the product yields another column vector describing the position of that point after that rotation.
Forme bilinéaireEn mathématiques, plus précisément en algèbre linéaire, une forme bilinéaire est une application qui à un couple de vecteurs associe un scalaire, et qui a la particularité d'être linéaire en ses deux arguments. Autrement dit, étant donné un espace vectoriel V sur un corps commutatif K, il s'agit d'une application f : V × V → K telle que, pour tous et tous , Les formes bilinéaires sont naturellement introduites pour les produits scalaires.
Matrice normaleEn algèbre linéaire, une matrice carrée A à coefficients complexes est une matrice normale si elle commute avec sa matrice adjointe A*, c'est-à-dire si A⋅A* = A*⋅A. Toutes les matrices hermitiennes, ou unitaires sont normales, en particulier, parmi les matrices à coefficients réels, toutes les matrices symétriques, antisymétriques ou orthogonales. Ce théorème — cas particulier du théorème de décomposition de Schur — est connu sous le nom de théorème spectral, et les éléments diagonaux de UAU sont alors les valeurs propres de A.
Matrice unitaireEn algèbre linéaire, une matrice carrée U à coefficients complexes est dite unitaire si elle vérifie les égalités : où la matrice adjointe de U est notée U* (ou U en physique, et plus particulièrement en mécanique quantique) et I désigne la matrice identité. L'ensemble des matrices unitaires de taille n forme le groupe unitaire U(n). Les matrices unitaires carrées à coefficients réels sont les matrices orthogonales.
Condition initialeEn physique ou en mathématique, on définit comme conditions initiales les éléments nécessaires à la détermination de la solution complète et si possible unique d'un problème, éléments qui décrivent l'état du système à l'instant initial, c'est-à-dire l'état de départ. Plus formellement, on appelle « condition initiale » l'espace d'état d'un système étudié à l'instant initial. C'est ce qui permet de déterminer les coefficients des solutions des équations différentielles, par exemple les équations de mouvement des corps.
Matrice diagonalisableEn mathématiques, une matrice diagonalisable est une matrice carrée semblable à une matrice diagonale. Cette propriété est équivalente à l'existence d'une base de vecteurs propres, ce qui permet de définir de manière analogue un endomorphisme diagonalisable d'un espace vectoriel. Le fait qu'une matrice soit diagonalisable dépend du corps dans lequel sont cherchées les valeurs propres, ce que confirme la caractérisation par le fait que le polynôme minimal soit scindé à racines simples.
Effet papillonvignette|Un graphique de l'attracteur étrange de Lorenz pour les valeurs ρ = 28, σ = 10, β = 8/3 « Effet papillon » est une expression qui résume une métaphore concernant le phénomène fondamental de sensibilité aux conditions initiales de la théorie du chaos. La formulation exacte qui en est à l'origine fut exprimée par Edward Lorenz lors d'une conférence scientifique en 1972, dont le titre était : vignette|Le battement d'ailes du papillon.
Matrice inversibleEn mathématiques et plus particulièrement en algèbre linéaire, une matrice inversible (ou régulière ou encore non singulière) est une matrice carrée A pour laquelle il existe une matrice B de même taille n avec laquelle les produits AB et BA sont égaux à la matrice identité. Dans ce cas la matrice B est unique, appelée matrice inverse de A et notée B = A. Cette définition correspond à celle d’élément inversible pour la multiplication dans l’anneau des matrices carrées associé.
Definite matrixIn mathematics, a symmetric matrix with real entries is positive-definite if the real number is positive for every nonzero real column vector where is the transpose of . More generally, a Hermitian matrix (that is, a complex matrix equal to its conjugate transpose) is positive-definite if the real number is positive for every nonzero complex column vector where denotes the conjugate transpose of Positive semi-definite matrices are defined similarly, except that the scalars and are required to be positive or zero (that is, nonnegative).
Théorie du chaosLa théorie du chaos est une théorie scientifique rattachée aux mathématiques et à la physique qui étudie le comportement des systèmes dynamiques sensibles aux conditions initiales, un phénomène généralement illustré par l'effet papillon. Dans de nombreux systèmes dynamiques, des modifications infimes des conditions initiales entraînent des évolutions rapidement divergentes, rendant toute prédiction impossible à long terme.
Matrice de ToeplitzEn algèbre linéaire, une matrice de Toeplitz (d'après Otto Toeplitz) ou matrice à diagonales constantes est une matrice dont les coefficients sur une diagonale descendant de gauche à droite sont les mêmes. Par exemple, la matrice suivante est une matrice de Toeplitz : Toute matrice A à n lignes et n colonnes de la forme est une matrice de Toeplitz. Si l'élément situé à l’intersection des ligne i et colonne j de A est noté Ai,j, alors on a : En général, une équation matricielle correspond à un système de n équations linéaires à résoudre.
Adjugate matrixIn linear algebra, the adjugate or classical adjoint of a square matrix A is the transpose of its cofactor matrix and is denoted by adj(A). It is also occasionally known as adjunct matrix, or "adjoint", though the latter term today normally refers to a different concept, the adjoint operator which for a matrix is the conjugate transpose. The product of a matrix with its adjugate gives a diagonal matrix (entries not on the main diagonal are zero) whose diagonal entries are the determinant of the original matrix: where I is the identity matrix of the same size as A.
Orientation dans l'espaceL'orientation d'un objet dans l'espace est une partie de la description de la façon dont un objet est placé dans l'espace. Cette orientation est relative et ne peut être décrite que par rapport à une orientation de référence ; l'orientation est alors la rotation imaginaire que l'objet devrait subir pour être placé de la même façon que la référence. Une rotation n'est pas en général suffisante pour retrouver le placement de référence et il est le plus souvent nécessaire de faire subir une translation à l'objet, ce qui correspond à la position de l'objet dans l'espace.
4 (nombre)4 (quatre) est l'entier naturel qui suit 3 et qui précède 5. Le préfixe du Système international pour 4 est tétra. La plupart des systèmes de numération possèdent un chiffre pour signifier le nombre quatre. Quatre (chiffre) Le chiffre « quatre », symbolisé « 4 », est le chiffre arabe servant notamment à signifier le nombre quatre. Le chiffre « 4 » n'est pas le seul utilisé dans le monde ; un certain nombre d'alphabets — particulièrement ceux des langues du sous-continent indien et du sud-est asiatique — utilisent des chiffres différents, même au sein de la numération indo-arabe.
Modèle du solide indéformableLe modèle du solide indéformable est un modèle de solide fréquemment utilisé en mécanique des systèmes de points matériels. Il s'agit d'une idéalisation de la notion usuelle de corps (à l'état) solide, considéré comme absolument rigide, et négligeant toute déformation. Le solide indéformable est un modèle utilisé en mécanique pour décrire le comportement d'un corps (objet, pièce). Comme son nom l'indique, on considère qu'au cours du temps la distance entre deux points donnés ne varie pas.
Rigid body dynamicsIn the physical science of dynamics, rigid-body dynamics studies the movement of systems of interconnected bodies under the action of external forces. The assumption that the bodies are rigid (i.e. they do not deform under the action of applied forces) simplifies analysis, by reducing the parameters that describe the configuration of the system to the translation and rotation of reference frames attached to each body. This excludes bodies that display fluid, highly elastic, and plastic behavior.
