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Séance de cours

Cas X et notations

Description

Cette séance de cours couvre le cas où X est fini, en introduisant Lemma 1.14 qui indique que pour un ensemble X et une collection d'objets en Ab, si X est fini alors la somme des objets est égale au produit des objets. Diverses notations et informations utiles pour les sommes directes sont présentées, en mettant l'accent sur le nombre fini de composantes non nulles dans la somme.

Source officielle

Proximité ontologique

Mathématiques

Algèbre: Algèbre générale

Concepts associés (25)

Direct sum

The direct sum is an operation between structures in abstract algebra, a branch of mathematics. It is defined differently, but analogously, for different kinds of structures. To see how the direct sum is used in abstract algebra, consider a more elementary kind of structure, the abelian group. The direct sum of two abelian groups and is another abelian group consisting of the ordered pairs where and . To add ordered pairs, we define the sum to be ; in other words addition is defined coordinate-wise.

Somme directe

En mathématiques, et plus précisément en algèbre, le terme de somme directe désigne des ensembles munis de certaines structures, souvent construits à partir du produit cartésien d'autres ensembles du même type, et vérifiant la propriété universelle de la somme (ou « coproduit ») au sens des catégories. Produit direct (groupes)#Somme directe interne d'une famille de sous-groupes abéliensSomme directe interne de sous-groupes abéliens Soient F et F deux sous-espaces vectoriels d'un espace vectoriel E.

Direct sum of groups

In mathematics, a group G is called the direct sum of two normal subgroups with trivial intersection if it is generated by the subgroups. In abstract algebra, this method of construction of groups can be generalized to direct sums of vector spaces, modules, and other structures; see the article direct sum of modules for more information. A group which can be expressed as a direct sum of non-trivial subgroups is called decomposable, and if a group cannot be expressed as such a direct sum then it is called indecomposable.

Groupe abélien

En mathématiques, plus précisément en algèbre, un groupe abélien (du nom de Niels Abel), ou groupe commutatif, est un groupe dont la loi de composition interne est commutative. Vu autrement, un groupe commutatif peut aussi être défini comme un module sur l'anneau commutatif des entiers relatifs ; l'étude des groupes abéliens apparaît alors comme un cas particulier de la théorie des modules. On sait classifier de façon simple et explicite les groupes abéliens de type fini à isomorphisme près, et en particulier décrire les groupes abéliens finis.

Groupe abélien de type fini

En mathématiques, un groupe abélien de type fini est un groupe abélien qui possède une partie génératrice finie. Autrement dit : c'est un module de type fini sur l'anneau Z des entiers relatifs. Par conséquent, les produits finis, les quotients, mais aussi les sous-groupes des groupes abéliens de type fini sont eux-mêmes de type fini. Un théorème de structure des groupes abéliens de type fini permet d'expliciter la liste complète de ces groupes à isomorphisme près ; il montre notamment que tout groupe abélien de type fini est un produit fini de groupes monogènes.

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Séances de cours associées (33)

Somme directe: Lemme 1.2

Déplacez-vous en sommes directes de groupes abeliens, montrant leurs propriétés de coproduits et de vérification universelle.

Travaux de construction à somme directe

Couvre l'existence et l'unicité des sommes directes dans les groupes abeliens.

Sommes directes dans les groupes abeliens

Explore les sommes directes dans les groupes abeliens, en mettant l'accent sur l'existence et l'unicité.

Somme directe des groupes abeliens

Explore la somme directe des groupes abeliens, en mettant l'accent sur les bijections et l'unicité.

Relation entre la somme directe et Hom

Explore l'isomorphisme entre Hom(A, B) et Hom(A, B) pour tout groupe abelien B.