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Numéros de complexe: Représentation cartésienne

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Description

Cette séance de cours introduit la représentation cartésienne de nombres complexes, où un nombre complexe est représenté comme une somme d'une partie réelle et d'une partie imaginaire. La séance de cours porte sur l'identification des nombres complexes sur le plan complexe, la notation des nombres complexes et les opérations de base impliquant des nombres complexes. Il explique également les règles pour ajouter et multiplier des nombres complexes, ainsi que la représentation des nombres complexes dans la forme cartésienne. La séance de cours se termine par des exemples illustrant l'application de ces concepts dans les calculs.

Dans MOOCs (2)

Analyse I (partie 2) : Introduction aux nombres complexes

L'équation z^2=−1 n'admet pas de solution dans R. Nous introduisons le système des nombres complexes C : C'est un corps qui contient R et qui nous permet de résoudre cette équation. Nous introduisons d'abord différentes manières de représenter un nombre complexe. Par la suite nous discutons les solutions des équations de la forme zn=w avec n∈N∗ et w∈C . Nous terminons avec un théorème plus général sur les racines de polynômes: le théorème fondamental de l'algèbre . Ce chapitre est indépendant du rest

Analyse I

Ce cours traite de : Partie 1 : Prélude, notions de base, les nombres réels. Partie 2 : Introduction aux nombres complexes. Partie 3 : Suites de nombres réels I et II. Partie 4 : Limite d'une fonction, fonctions continues. Partie 5 : Fonctions continues et fonctions dérivables, la fonction dérivée. Partie 6 : Etudes des fonctions, développements limités. Partie 7 : Intégrales indéfinies et définies, intégration (chapitres choisis).

Source officielle

Concepts associés (32)

Nombre complexe

En mathématiques, l'ensemble des nombres complexes est actuellement défini comme une extension de l'ensemble des nombres réels, contenant en particulier un nombre imaginaire noté i tel que i = −1. Le carré de (−i) est aussi égal à −1 : (−i) = −1. Tout nombre complexe peut s'écrire sous la forme x + i y où x et y sont des nombres réels. Les nombres complexes ont été progressivement introduit au par l’école mathématique italienne (Jérôme Cardan, Raphaël Bombelli, Tartaglia) afin d'exprimer les solutions des équations du troisième degré en toute généralité par les formules de Cardan, en utilisant notamment des « nombres » de carré négatif.

Plan complexe

En mathématiques, le plan complexe (aussi appelé plan d'Argand, plan d'Argand-Cauchy ou plan d'Argand-Gauss) désigne un plan, muni d'un repère orthonormé, dont chaque point est la représentation graphique d'un nombre complexe unique. Le nombre complexe associé à un point est appelé l'affixe de ce point. Une affixe est constituée d'une partie réelle et d'une partie imaginaire correspondant respectivement à l'abscisse et l'ordonnée du point. On associe en général le plan complexe à un repère orthonormé direct.

Multiplication

thumb|La multiplication de 4 par 3 donne le même résultat que la multiplication de 3 par 4. La multiplication est l'une des quatre opérations de l'arithmétique élémentaire avec l'addition, la soustraction et la division. Cette opération est souvent notée avec la croix de multiplication « × », mais peut aussi être notée par d'autres symboles (par exemple le point médian « · ») ou par l'absence de symbole. Son résultat s'appelle le produit, les nombres que l'on multiplie sont les facteurs.

Nombre imaginaire pur

vignette|Plan des nombres complexes avec les imaginaires purs en bas à droite. thumb|Plan des nombres complexes. Les coordonnées du point A décrivent un nombre réel pur, celles du point B décrivent un nombre imaginaire pur, et celles du point C décrivent un nombre complexe. Un nombre imaginaire pur est un nombre complexe qui s'écrit sous la forme ia avec a réel, i étant l'unité imaginaire. Par exemple, i et −3i sont des imaginaires purs. Ce sont les nombres complexes dont la partie réelle est nulle.

Unité imaginaire

En mathématiques, l’unité imaginaire est un nombre complexe, noté (parfois en physique afin de ne pas le confondre avec la notation de l'intensité électrique), dont le carré vaut –1. Ses multiples par des nombres réels constituent les nombres imaginaires purs. L'appellation d'« imaginaire » est due à René Descartes et celle d'« unité imaginaire » à Carl Friedrich Gauss. Sans avoir disparu, cette appellation n'est pas d'un usage très généralisé chez les mathématiciens, qui se contentent souvent de parler du nombre i.

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Séances de cours associées (64)

Définition du champ des nombres complexes MOOC: Analyse I (partie 2) : Introduction aux nombres complexes MOOC: Analyse I

Introduit des nombres complexes et définit leur champ, mettant l'accent sur les propriétés et les opérations.

Nombres de complexes : Opérations et propriétés

Couvre la représentation et les propriétés des nombres complexes, y compris les parties réelles et imaginaires et les applications géométriques.

Nombres de complexes : Opérations et propriétés

Explore les nombres complexes, y compris le module, la conjugaison et la formule Euler.

Nombres complexes : propriétés et opérations

Explore les nombres complexes, la formule d'Euler, la formule de Moivre et la preuve par induction.

Nombres complexes et matrices 2x2

Couvre les nombres complexes, les équations quadratiques, les solutions dans les matrices C et 2x2.

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Concepts associés (32)

Nombre complexe

Plan complexe

Multiplication

Nombre imaginaire pur

Unité imaginaire

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