ThermodynamiqueLa thermodynamique est la branche de la physique qui traite de la dépendance des propriétés physiques des corps à la température, des phénomènes où interviennent des échanges thermiques, et des transformations de l'énergie entre différentes formes. La thermodynamique peut être abordée selon deux approches différentes et complémentaires : phénoménologique et statistique. La thermodynamique phénoménologique ou classique a été l'objet de nombreuses avancées dès le .
Principes de la thermodynamiquevignette|Entropie d'un corps à 0 K (à gauche) Corps avec une température supérieur à 0 K (à droite) Les principes de la thermodynamique sont les principales lois (principes en fait, car non démontrés) qui régissent la thermodynamique : premier principe de la thermodynamique : principe de conservation de l'énergie ; introduction de la fonction énergie interne, U ; deuxième principe de la thermodynamique : principe d'évolution ; création d'entropie, S ; troisième principe de la thermodynamique ou principe de N
Dérivée partielleEn mathématiques, la dérivée partielle d'une fonction de plusieurs variables est sa dérivée par rapport à l'une de ses variables, les autres étant gardées constantes. C'est une notion de base de l'analyse en dimension , de la géométrie différentielle et de l'analyse vectorielle. La dérivée partielle de la fonction par rapport à la variable est souvent notée . Si est une fonction de et sont les accroissements infinitésimaux de respectivement, alors l'accroissement infinitésimal correspondant de est : Cette expression est la « différentielle totale » de , chaque terme dans la somme étant une « différentielle partielle » de .
Thermodynamique hors équilibreLa thermodynamique hors équilibre est le domaine de recherche étudiant les phénomènes de relaxation et de transport au voisinage de l'équilibre thermodynamique. Il s'agit là de phénomènes dissipatifs donc irréversibles, liés à une augmentation de l'entropie. Les méthodes présentées ici relèvent de la thermodynamique proprement dite, qui permet de donner les lois caractérisant un phénomène.
Chemical thermodynamicsChemical thermodynamics is the study of the interrelation of heat and work with chemical reactions or with physical changes of state within the confines of the laws of thermodynamics. Chemical thermodynamics involves not only laboratory measurements of various thermodynamic properties, but also the application of mathematical methods to the study of chemical questions and the spontaneity of processes. The structure of chemical thermodynamics is based on the first two laws of thermodynamics.
Premier principe de la thermodynamiqueSelon le premier principe de la thermodynamique, lors de toute transformation, il y a conservation de l'énergie. Dans le cas des systèmes thermodynamiques fermés, il s'énonce de la manière suivante : Au cours d'une transformation quelconque d'un système fermé, la variation de son énergie est égale à la quantité d'énergie échangée avec le milieu extérieur, par transfert thermique (chaleur) et transfert mécanique (travail).
Deuxième principe de la thermodynamiqueLe deuxième principe de la thermodynamique (également connu sous le nom de deuxième loi de la thermodynamique ou principe de Carnot) établit l'irréversibilité des phénomènes physiques, en particulier lors des échanges thermiques. C'est un principe d'évolution qui fut énoncé pour la première fois par Sadi Carnot en 1824. Il a depuis fait l'objet de nombreuses généralisations et formulations successives par Clapeyron (1834), Clausius (1850), Lord Kelvin, Ludwig Boltzmann en 1873 et Max Planck (voir Histoire de la thermodynamique et de la mécanique statistique), tout au long du et au-delà jusqu'à nos jours.
DérivéeEn mathématiques, la dérivée d'une fonction d'une variable réelle mesure l'ampleur du changement de la valeur de la fonction (valeur de sortie) par rapport à un petit changement de son argument (valeur d'entrée). Les calculs de dérivées sont un outil fondamental du calcul infinitésimal. Par exemple, la dérivée de la position d'un objet en mouvement par rapport au temps est la vitesse (instantanée) de l'objet. La dérivée d'une fonction est une fonction qui, à tout nombre pour lequel admet un nombre dérivé, associe ce nombre dérivé.
Dérivée totaleEn analyse, la dérivée totale d'une fonction est une généralisation du nombre dérivé pour les fonctions à plusieurs variables. Cette notion est utilisée dans divers domaines de la physique et tout particulièrement en mécanique des milieux continus et en mécanique des fluides dans lesquels les grandeurs dépendent à la fois du temps et de la position. Soit une fonction à plusieurs variables et , , fonctions de .
EnthalpieEn physique, la variable enthalpie est une quantité reliée à l'énergie d'un système thermodynamique. Elle est notée . Elle comprend l'énergie interne du système (notée ), à laquelle est ajouté le produit de la pression (notée ) par le volume (noté ) : . L'enthalpie est un potentiel thermodynamique qui synthétise en une seule fonction l'énergie interne du système (liée à sa température et à sa quantité de matière) et le travail de frontière (lié à sa pression) requis pour occuper son volume.
DifférentielleEn analyse fonctionnelle et vectorielle, on appelle différentielle d'ordre 1 d'une fonction en un point (ou dérivée de cette fonction au point ) la partie linéaire de l'accroissement de cette fonction entre et lorsque tend vers 0. Elle généralise aux fonctions de plusieurs variables la notion de nombre dérivé d'une fonction d'une variable réelle, et permet ainsi d'étendre celle de développements limités. Cette différentielle n'existe pas toujours, et une fonction possédant une différentielle en un point est dite différentiable en ce point.
Théorème de SchwarzLe théorème de Schwarz, de Clairaut ou de Young est un théorème d'analyse portant sur les dérivées partielles secondes d'une fonction de plusieurs variables. Il apparaît pour la première fois dans un cours de calcul différentiel donné par Weierstrass en 1861 auquel assistait alors Hermann Schwarz à Berlin. La symétrie de la hessienne signifie que le résultat d'une dérivation partielle à l'ordre 2 par rapport à deux variables ne dépend pas de l'ordre dans lequel se fait la dérivation par rapport à ces deux variables : Ce théorème est parfois appelé par les anglophones (théorème de Young), nom qui désigne également une extension aux dérivées d'ordre supérieur.
Differential (mathematics)In mathematics, differential refers to several related notions derived from the early days of calculus, put on a rigorous footing, such as infinitesimal differences and the derivatives of functions. The term is used in various branches of mathematics such as calculus, differential geometry, algebraic geometry and algebraic topology. The term differential is used nonrigorously in calculus to refer to an infinitesimal ("infinitely small") change in some varying quantity.
Fonction spécialeL'analyse mathématique regroupe sous le terme de fonctions spéciales un ensemble de fonctions analytiques non élémentaires, qui sont apparues au comme solutions d'équations de la physique mathématique, particulièrement les équations aux dérivées partielles d'ordre deux et quatre. Comme leurs propriétés ont été étudiées extensivement (et continuent de l'être), on dispose à leur sujet d'une multitude d'informations.
Wirtinger derivativesIn complex analysis of one and several complex variables, Wirtinger derivatives (sometimes also called Wirtinger operators), named after Wilhelm Wirtinger who introduced them in 1927 in the course of his studies on the theory of functions of several complex variables, are partial differential operators of the first order which behave in a very similar manner to the ordinary derivatives with respect to one real variable, when applied to holomorphic functions, antiholomorphic functions or simply differentiabl
Équation aux dérivées partiellesEn mathématiques, plus précisément en calcul différentiel, une équation aux dérivées partielles (parfois appelée équation différentielle partielle et abrégée en EDP) est une équation différentielle dont les solutions sont les fonctions inconnues dépendant de plusieurs variables vérifiant certaines conditions concernant leurs dérivées partielles. Une EDP a souvent de très nombreuses solutions, les conditions étant moins strictes que dans le cas d'une équation différentielle ordinaire à une seule variable ; les problèmes comportent souvent des conditions aux limites qui restreignent l'ensemble des solutions.
Équation fonctionnelleEn mathématiques, une équation fonctionnelle est une équation dont les inconnues sont des fonctions. De nombreuses propriétés de fonctions peuvent être déterminées en étudiant les équations auxquelles elles satisfont. D'habitude, le terme « équation fonctionnelle » est réservé aux équations qu'on ne peut pas ramener à des équations plus simples, par exemple à des équations différentielles.
Inexact differentialAn inexact differential or imperfect differential is a differential whose integral is path dependent. It is most often used in thermodynamics to express changes in path dependent quantities such as heat and work, but is defined more generally within mathematics as a type of differential form. In contrast, an integral of an exact differential is always path independent since the integral acts to invert the differential operator. Consequently, a quantity with an inexact differential cannot be expressed as a function of only the variables within the differential.
Fonction hyperboliqueEn mathématiques, on appelle fonctions hyperboliques les fonctions cosinus hyperbolique, sinus hyperbolique et tangente hyperbolique. Les noms « sinus », « cosinus » et « tangente » proviennent de leur ressemblance avec les fonctions trigonométriques (dites « circulaires » car en relation avec le cercle unité x + y = 1) et le terme « hyperbolique » provient de leur relation avec l'hyperbole d'équation x – y = 1. Elles sont utilisées en analyse pour le calcul intégral, la résolution des équations différentielles mais aussi en géométrie hyperbolique.
Dérivée secondeLa dérivée seconde est la dérivée de la dérivée d'une fonction, lorsqu'elle est définie. Elle permet de mesurer l'évolution des taux de variations. Par exemple, la dérivée seconde du déplacement par rapport au temps est la variation de la vitesse (taux de variation du déplacement), soit l'accélération. Si la fonction admet une dérivée seconde, on dit qu'elle est de classe D2 ; si de plus cette dérivée seconde est continue, la fonction est dite de classe C2.
