Séance de cours

Embedding dans les espaces métriques

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Dans cours

MATH-513: Metric embeddings

The course aims to introduce the basic concepts and results on metric embeddings, or more precisely on approximate embeddings. This area has been under rapid development since the 90's and it has strong impact on algorithms for discrete optimization proble ...

Description

Cette séance de cours couvre le concept d'intégration dans les espaces métriques, en se concentrant sur le processus d'intégration d'un espace métrique dans un autre. L'instructeur explique l'objectif de trouver des correspondances entre les espaces et les conditions d'intégration réussie. Différents paramètres et calculs sont discutés, y compris la comparaison des distances et la convergence des cartes. La séance de cours se penche également sur l'importance de préserver les distances et les implications des différentes mesures sur le processus d'intégration.

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Concepts associés (16)

Espace métrique

En mathématiques et plus particulièrement en topologie, un espace métrique est un ensemble au sein duquel une notion de distance entre les éléments de l'ensemble est définie. Les éléments seront, en général, appelés des points. Tout espace métrique est canoniquement muni d'une topologie. Les espaces métrisables sont les espaces topologiques obtenus de cette manière. L'exemple correspondant le plus à notre expérience intuitive de l'espace est l'espace euclidien à trois dimensions.

Espace complet

En mathématiques, un espace métrique complet est un espace métrique dans lequel toute suite de Cauchy converge. La propriété de complétude dépend de la distance. Il est donc important de toujours préciser la distance que l'on prend quand on parle d'espace complet. Intuitivement, un espace est complet s'il « n'a pas de trou », s'il « n'a aucun point manquant ». Par exemple, les nombres rationnels ne forment pas un espace complet, puisque n'y figure pas alors qu'il existe une suite de Cauchy de nombres rationnels ayant cette limite.

Espace pseudo-métrique

En mathématiques, un espace pseudo-métrique est un ensemble muni d'une pseudo-distance. C'est une généralisation de la notion d'espace métrique. Sur un espace vectoriel, tout comme une norme induit une distance, une semi-norme induit une semi-distance. Pour cette raison, en analyse fonctionnelle et dans les disciplines mathématiques apparentées, l'expression « espace semi-métrique » est utilisée comme synonyme d'espace pseudo-métrique (alors qu'« espace semi-métrique » a un autre sens en topologie).

Convergence uniforme

La convergence uniforme d'une suite de fonctions est une forme de convergence plus exigeante que la convergence simple. La convergence devient uniforme quand toutes les suites avancent vers leur limite respective avec une sorte de « mouvement d'ensemble ». Dans le cas de fonctions numériques d'une variable, la notion prend une forme d'« évidence » géométrique : le graphe de la fonction f se « rapproche » de celui de la limite. Soient X un ensemble, (Y, d) un espace métrique, et A un sous-ensemble de X.

Espace de longueur

En mathématiques, un espace de longueur est un espace métrique particulier, qui généralise la notion de variété riemannienne : la distance y est définie par une fonction vérifiant une axiomatique la rendant proche de l'idée concrète de distance. Les espaces de longueur ont été étudiés au début du par et sous le nom d'espaces métriques intrinsèques, et réintroduits plus récemment par Mikhaïl Gromov. Soit X un espace topologique. Une courbe dans X est une application continue , où I est un intervalle de .

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Lp Cone et Embeddings approximatifs

Couvre le concept de cône Lp et les encastrements approximatifs dans les espaces métriques.

Convergence et exhaustivité

Couvre la convergence, l'exhaustivité et les propriétés des espaces métriques et des espaces de Banach.

Préimages dans une construction de collage

Plonge dans des préimages d'ensembles fermés dans une union disjointe.

Transport optimal : stabilité et contre-exemples

Couvre la stabilité dans un transport optimal et fournit des exemples de solutions optimales discontinues.

Théorie des probabilités : lois et convergence

Couvre les lemmes de Borel-Cantelli, les lois des variables aléatoires et la convergence des probabilités.

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Concepts associés (16)

Espace métrique

Espace complet

Espace pseudo-métrique

Convergence uniforme

Espace de longueur

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