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Existence de functors dérivés à gauche: Partie 2

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Dans cours

MATH-436: Topology V.a - Homotopical algebra

This course will provide an introduction to model category theory, which is an abstract framework for generalizing homotopy theory beyond topological spaces and continuous maps. We will study numerous examples of model categories and their applications in ...

Description

Cette séance de cours conclut la preuve de l'existence de foncteurs dérivés de la gauche en construisant la transformation naturelle requise et en établissant sa propriété universelle. Le cas particulier où le foncteur est un composite dun foncteur entre les catégories de modèle, post-composé avec le foncteur de localisation à la catégorie homotopie, est également discuté, conduisant aux concepts de foncteurs dérivés totaux gauche et droit. La séance de cours couvre la communativité des diagrammes, la construction des transformations naturelles et les propriétés des foncteurs totaux dérivés à gauche et à droite.

Source officielle

Proximité ontologique

Mathématiques

Topologie: Topologie algébrique

Concepts associés (26)

Homotopy category

In mathematics, the homotopy category is a built from the category of topological spaces which in a sense identifies two spaces that have the same shape. The phrase is in fact used for two different (but related) categories, as discussed below. More generally, instead of starting with the category of topological spaces, one may start with any and define its associated homotopy category, with a construction introduced by Quillen in 1967. In this way, homotopy theory can be applied to many other categories in geometry and algebra.

Foncteur dérivé

En mathématiques, certains foncteurs peuvent être dérivés pour obtenir de nouveaux foncteurs liés de manière naturelle par des morphismes à ceux de départs. Cette notion abstraite permet d'unifier des constructions concrètes intervenant dans de nombreux domaines des mathématiques. Elle n'est pas liée à la notion de dérivation en analyse. La notion de foncteur dérivé est conçue pour donner un cadre général aux situations où une suite exacte courte donne naissance à une suite exacte longue.

Catégorie de modèles

En mathématiques, plus précisément en théorie de l'homotopie, une catégorie de modèles est une catégorie dotée de trois classes de morphismes, appelés équivalences faibles, fibrations et cofibrations, satisfaisant à certains axiomes. Ceux-ci sont abstraits du comportement homotopique des espaces topologiques et des complexes de chaînes. La théorie des catégories de modèles est une sous-branche de la théorie des catégories et a été introduite par Daniel Quillen en 1967 pour généraliser l'étude de l'homotopie aux catégories et ainsi avoir de nouveaux outils pour travailler avec l'homotopie dans les espaces topologiques.

Catégorie dérivée

La catégorie dérivée d'une catégorie est une construction, originellement introduite par Jean-Louis Verdier dans sa thèse et reprise dans SGA 41⁄2, qui permet notamment de raffiner et simplifier la théorie des foncteurs dérivés. Elle a amené à plusieurs développements importants, ainsi que des reformulations élégantes par exemple de la théorie des D-modules et des preuves de la qui généralise le vingt-et-unième problème de Hilbert. En particulier, le langage des catégories dérivées permet de simplifier des problèmes exprimés en termes de suites spectrales.

Foncteur Tor

En mathématiques, le foncteur Tor est le foncteur dérivé associé au foncteur produit tensoriel. Il trouve son origine en algèbre homologique, où il apparaît notamment dans l'étude des suites spectrales et dans la formulation du théorème de Künneth. Les foncteurs dérivés tentent de mesurer le défaut d'exactitude d'un foncteur. Soit R un anneau, considérons la catégorie RMod des R-modules et ModR des R-modules à droite.

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Couvre deux lemmes techniques essentiels pour le théorème fondamental en algèbre homotopique.

Paires de Quillen et équivalences de Quillen : foncteurs dérivés

Explore les paires de Quillen, les équivalences et les foncteurs dérivés en algèbre homotopique.

Propriétés élémentaires des catégories de modèles

Couvre les propriétés élémentaires des catégories de modèles, en mettant laccent sur la dualité entre les fibrations et les cofibrations.

Functors dérivés dans l'algèbre homotopique

Couvre le théorème fondamental de l'algèbre homotopique, des paires de Quillen et des foncteurs dérivés.

Catégorie Homotopie et Functors dérivés

Explore la catégorie homotopie des complexes de chaînes et la relation entre les quasi-isomorphismes et les équivalences homotopiques de chaînes.

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