Suite exacteEn mathématiques, plus particulièrement en algèbre homologique, une suite exacte est une suite (finie ou infinie) d'objets et de morphismes entre ces objets telle que l' de l'un est égale au noyau du suivant. Dans le contexte de la théorie des groupes, on dit que la suite (finie ou infinie) de groupes et de morphismes de groupes est exacte si pour tout entier naturel n on a . Dans ce qui précède, sont des groupes et des morphismes de groupes avec . Dans la suite, 0 dénote le groupe trivial, qui est l'objet nul dans la catégorie des groupes.
Weak equivalence (homotopy theory)In mathematics, a weak equivalence is a notion from homotopy theory that in some sense identifies objects that have the same "shape". This notion is formalized in the axiomatic definition of a . A model category is a with classes of morphisms called weak equivalences, fibrations, and cofibrations, satisfying several axioms. The associated of a model category has the same objects, but the morphisms are changed in order to make the weak equivalences into isomorphisms.
Complex projective planeIn mathematics, the complex projective plane, usually denoted P2(C), is the two-dimensional complex projective space. It is a complex manifold of complex dimension 2, described by three complex coordinates where, however, the triples differing by an overall rescaling are identified: That is, these are homogeneous coordinates in the traditional sense of projective geometry. The Betti numbers of the complex projective plane are 1, 0, 1, 0, 1, 0, 0, .....
Propriété de relèvement des homotopiesEn mathématiques, en particulier en théorie de l'homotopie en topologie algébrique, la propriété de relèvement des homotopies est une condition technique sur une fonction continue d'un espace topologique E dit total à un autre, B dit espace de base. Moralement, cette propriété énonce que toute homotopie dans l'espace de base se relève en une homotopie dans l'espace total E. Par exemple, un revêtement a une propriété de relèvement local unique des chemins vers un ouvert de la fibre donnée ; l'unicité est due au fait que les fibres d'un revêtement sont des espaces discrets.
Variété projectiveEn géométrie algébrique, les variétés projectives forment une classe importante de variétés. Elles vérifient des propriétés de compacité et des propriétés de finitude. C'est l'objet central de la géométrie algébrique globale. Sur un corps algébriquement clos, les points d'une variété projective sont les points d'un ensemble algébrique projectif. On fixe un corps (commutatif) k. Algèbre homogène. Soit B le quotient de par un idéal homogène ( idéal engendré par des polynômes homogènes).
Connexité (mathématiques)La connexité est une notion de topologie qui formalise le concept d'« objet d'un seul tenant ». Un objet est dit connexe s'il est fait d'un seul « morceau ». Dans le cas contraire, chacun des morceaux est une composante connexe de l'objet étudié. Soit un espace topologique E. Les quatre propositions suivantes sont équivalentes : E n'est pas la réunion de deux ouverts non vides disjoints ; E n'est pas la réunion de deux fermés non vides disjoints ; les seuls ouverts-fermés de E sont ∅ et E ; toute application continue de E dans un ensemble à deux éléments muni de la topologie discrète est constante.
Bousfield localizationIn , a branch of mathematics, a (left) Bousfield localization of a replaces the model structure with another model structure with the same cofibrations but with more weak equivalences. Bousfield localization is named after Aldridge Bousfield, who first introduced this technique in the context of localization of topological spaces and spectra. Given a class C of morphisms in a M the left Bousfield localization is a new model structure on the same category as before.
Morphisme de groupesUn morphisme de groupes ou homomorphisme de groupes est une application entre deux groupes qui respecte la structure de groupe. Plus précisément, c'est un morphisme de magmas d'un groupe dans un groupe , c'est-à-dire une application telle que et l'on en déduit alors que f(e) = e (où e et e désignent les neutres respectifs de G et G) et ∀x ∈ G f(x) = [f(x)]. donc ; en composant par l'inverse de , on obtient (autrement dit, un morphisme de groupes conserve l'idempotence, et l'élément neutre d'un groupe est son unique élément idempotent).
Groupes d'homotopie des sphèresEn mathématiques, et plus spécifiquement en topologie algébrique, les groupes d'homotopie des sphères sont des invariants qui décrivent, en termes algébriques, comment des sphères de dimensions et égales ou différentes peuvent s'enrouler l'une sur l'autre. La notion, définie au départ pour des sphères de dimension 1 (cercles) et de dimension 2, se généralise à des sphères de toutes dimensions (les -sphères).
Cylindre d'applicationEn mathématiques, le cylindre (mapping cylinder) d'une application continue entre deux espaces topologiques est un espace homotopiquement équivalent à l'espace but et dans lequel l'espace source s'inclut par une cofibration. Si l'espace source est aussi l'espace but, le tore de l'application (mapping torus) est le quotient du cylindre par la relation entre ses extrémités. Le double cylindre d'applications de deux applications continues f : X → Y et f : X → Y est le quotient de la réunion disjointe par la relation d'équivalence : (x, i) ∼ f(x).
Partie relativement compacteEn mathématiques, une partie relativement compacte d'un espace topologique X est un sous-ensemble Y de X inclus dans une partie compacte de X (pour la topologie induite). Rappelons que dans la littérature française, un compact est supposé séparé. Si X est séparé, alors une partie de X est relativement compacte (si et) seulement si son adhérence est compacte. Dans un espace métrisable X, une partie Y est relativement compacte si et seulement si toute suite dans Y possède une sous-suite qui converge dans X.
Espace compactement engendréEn mathématiques, un espace topologique est dit compactement engendré si c'est un k-espace faiblement Hausdorff. Cette notion intervient en théorie de l'homotopie, dans l'étude des CW-complexes. Un espace X est : un k-espace si toute partie « compactement fermée » de X est fermée (une partie F de X est dite compactement fermée si pour toute application continue f d'un compact K dans X, est fermé dans K) ; faiblement Hausdorff si toute application continue d'un compact dans X est fermée.
