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Séance de cours

Valeurs propres et stabilité

Dans cours

MATH-251(a): Numerical analysis

This course presents numerical methods to solve mathematical problems such as systems of linear and nonlinear equations, function approximation, integration and differentiation, and differential equations. ...

Description

Cette séance de cours couvre le concept de valeurs propres et de stabilité dans les systèmes linéaires, en discutant des conditions de stabilité conditionnelle et inconditionnelle, ainsi que le scénario de cas scolaire. Il explore également l'utilisation de vecteurs propres dans les systèmes progressifs et rétrogrades, fournissant des techniques d'estimation des erreurs et des contrôles d'erreurs.

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Enseignant·e·s (4)

Pablo Antolin Sanchez

Fabio Nobile

Espen Sande

Daniel Kressner

Source officielle

Proximité ontologique

Mathématiques

Algèbre: Algèbre linéaire

Concepts associés (32)

Valeur propre, vecteur propre et espace propre

En mathématiques, et plus particulièrement en algèbre linéaire, le concept de vecteur propre est une notion algébrique s'appliquant à une application linéaire d'un espace dans lui-même. Il correspond à l'étude des axes privilégiés, selon lesquels l'application se comporte comme une dilatation, multipliant les vecteurs par une même constante. Ce rapport de dilatation est appelé valeur propre, les vecteurs auxquels il s'applique s'appellent vecteurs propres, réunis en un espace propre.

Décomposition d'une matrice en éléments propres

En algèbre linéaire, la décomposition d'une matrice en éléments propres est la factorisation de la matrice en une forme canonique où les coefficients matriciels sont obtenus à partir des valeurs propres et des vecteurs propres. Un vecteur non nul v à N lignes est un vecteur propre d'une matrice carrée A à N lignes et N colonnes si et seulement si il existe un scalaire λ tel que : où λ est appelé valeur propre associée à v. Cette dernière équation est appelée « équation aux valeurs propres ».

Generalized eigenvector

In linear algebra, a generalized eigenvector of an matrix is a vector which satisfies certain criteria which are more relaxed than those for an (ordinary) eigenvector. Let be an -dimensional vector space and let be the matrix representation of a linear map from to with respect to some ordered basis. There may not always exist a full set of linearly independent eigenvectors of that form a complete basis for . That is, the matrix may not be diagonalizable.

Algèbre linéaire

vignette|R3 est un espace vectoriel de dimension 3. Droites et plans qui passent par l'origine sont des sous-espaces vectoriels. L’algèbre linéaire est la branche des mathématiques qui s'intéresse aux espaces vectoriels et aux transformations linéaires, formalisation générale des théories des systèmes d'équations linéaires. L'algèbre linéaire est initiée dans son principe par le mathématicien perse Al-Khwârizmî qui s'est inspiré des textes de mathématiques indiens et qui a complété les travaux de l'école grecque, laquelle continuera de se développer des siècles durant.

Defective matrix

In linear algebra, a defective matrix is a square matrix that does not have a complete basis of eigenvectors, and is therefore not diagonalizable. In particular, an n × n matrix is defective if and only if it does not have n linearly independent eigenvectors. A complete basis is formed by augmenting the eigenvectors with generalized eigenvectors, which are necessary for solving defective systems of ordinary differential equations and other problems.

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Séances de cours associées (38)

Valeurs propres et vecteurs propres en 3D

Explore les valeurs propres et les vecteurs propres dans l'algèbre linéaire 3D, couvrant les polynômes caractéristiques, la stabilité sous les transformations, et les racines réelles.

Algèbre linéaire: base canonique

Explore la base canonique en algèbre linéaire, en se concentrant sur la représentation matricielle, la diagonalisation et les polynômes caractéristiques.

Systèmes linéaires en 2D : Stabilité

Explore la stabilité dans les systèmes 2D linéaires, couvrant les points fixes, les champs vectoriels et les portraits de phase.

Algèbre linéaire: valeurs propres et vecteurs propres

Explore les valeurs propres, les vecteurs propres, la diagonalisation et le théorème spectral dans l'algèbre linéaire.

Analyse de stabilité: Systèmes linéaires

Explore l'analyse de stabilité dans les systèmes linéaires, en mettant l'accent sur les valeurs propres, les vecteurs propres et les variétés stables.

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