Corps de nombresEn mathématiques, un corps de nombres algébriques (ou simplement corps de nombres) est une extension finie K du corps Q des nombres rationnels. En particulier, c'est une extension algébrique : tous les éléments de K sont des nombres algébriques, dont le degré divise le degré de l'extension. C'est aussi une extension séparable car Q est de caractéristique nulle donc parfait. Tout sous-corps de C engendré par un nombre fini de nombres algébriques est un corps de nombres.
Quadratic fieldIn algebraic number theory, a quadratic field is an algebraic number field of degree two over , the rational numbers. Every such quadratic field is some where is a (uniquely defined) square-free integer different from and . If , the corresponding quadratic field is called a real quadratic field, and, if , it is called an imaginary quadratic field or a complex quadratic field, corresponding to whether or not it is a subfield of the field of the real numbers.
Problème du nombre de classes pour les corps quadratiques imaginairesEn mathématiques, le problème du nombre de classes de Gauss pour les corps quadratiques imaginaires, au sens usuel, est de fournir pour chaque entier n ≥ 1, la liste complète des corps quadratiques imaginaires dont l'anneau des entiers a un nombre de classes égal à n. C'est une question de calcul effectif. La première démonstration (Hans Heilbronn, 1934) qu'une telle liste est finie ne fournissait pas, même en théorie, un moyen de la calculer (voir Résultats effectifs en théorie des nombres).
Corps totalement réelEn mathématiques et en théorie des nombres, un corps de nombres K est dit totalement réel si pour chaque plongement de K dans l'ensemble des nombres complexes, l' se trouve dans l'ensemble des nombres réels. De manière équivalente, K est engendré sur Q par une racine d'un polynôme à coefficients entiers dont toutes les racines sont réelles, ou bien encore le produit tensoriel K⊗R est un produit d'exemplaires de R. La notion de signature d'un corps de nombres permet de mesurer plus précisément à quel point un corps est loin d'être totalement réel.
Corps localEn mathématiques, un corps local est un corps commutatif topologique localement compact pour une topologie non discrète. Sa topologie est alors définie par une valeur absolue. Les corps locaux interviennent de façon fondamentale en théorie algébrique des nombres. Si k est un corps fini, le corps k((X)) des séries formelles de Laurent à coefficients dans k est un corps local. Tout complété d'un corps de nombres (ou plus généralement un corps global) pour une valuation non triviale est un corps local.
Théorie algébrique des nombresEn mathématiques, la théorie algébrique des nombres est la branche de la théorie des nombres utilisant des outils issus de l'algèbre. Son origine est l'étude des nombres entiers et particulièrement les équations diophantiennes. Pour en résoudre certaines, il est utile de considérer d'autres entiers, dits algébriques. Un exemple est donné par le théorème des deux carrés de Fermat utilisant les entiers de Gauss. Ces ensembles sont équipés de deux lois — une addition et une multiplication — qui vérifient les mêmes propriétés élémentaires que les entiers relatifs : on parle d'anneaux.
Stokes' theoremStokes' theorem, also known as the Kelvin–Stokes theorem after Lord Kelvin and George Stokes, the fundamental theorem for curls or simply the curl theorem, is a theorem in vector calculus on . Given a vector field, the theorem relates the integral of the curl of the vector field over some surface, to the line integral of the vector field around the boundary of the surface. The classical theorem of Stokes can be stated in one sentence: The line integral of a vector field over a loop is equal to the flux of its curl through the enclosed surface.
Théorème de GreenEn mathématiques, le théorème de Green, ou théorème de Green-Riemann, donne la relation entre une intégrale curviligne le long d'une courbe simple fermée orientée C par morceaux et l'intégrale double sur la région du plan délimitée par cette courbe. Ce théorème, nommé d'après George Green et Bernhard Riemann, est un cas particulier du théorème de Stokes. thumb|upright=0.9|Domaine délimité par une courbe régulière par morceaux. Vu comme cas particulier du théorème de Stokes, le théorème s'écrit sous la forme suivante, en notant ∂D la courbe C et ω la forme différentielle.
Nombre rationnelUn nombre rationnel est, en mathématiques, un nombre qui peut s'exprimer comme le quotient de deux entiers relatifs. On peut ainsi écrire les nombres rationnels sous forme de fractions notées où , le numérateur, est un entier relatif et , le dénominateur, est un entier relatif non nul. Un nombre entier est un nombre rationnel : il peut s'exprimer sous la forme . Chaque nombre rationnel peut s'écrire d'une infinité de manières différentes sous forme de fraction, par exemple ...
ThéorèmeEn mathématiques et en logique, un théorème (du grec théorêma, objet digne d'étude) est une assertion qui est démontrée, c'est-à-dire établie comme vraie à partir d'autres assertions déjà démontrées (théorèmes ou autres formes d'assertions) ou des assertions acceptées comme vraies, appelées axiomes. Un théorème se démontre dans un système déductif et est une conséquence logique d'un système d'axiomes. En ce sens, il se distingue d'une loi scientifique, obtenue par l'expérimentation.
Approximation diophantiennevignette|Meilleurs approximations rationnelles pour les nombres irrationnels Π (vert), e (bleu), φ (rose), √3/2 (gris), 1/√2 (rouge) et 1/√3 (orange) tracées sous forme de pentes y/x avec des erreurs par rapport à leurs vraies valeurs (noirs) par CMG Lee. En théorie des nombres, l'approximation diophantienne, qui porte le nom de Diophante d'Alexandrie, traite de l'approximation des nombres réels par des nombres rationnels.
Théorie ergodiquevignette|Flux d'un ensemble statistique dans le potentiel x6 + 4*x3 - 5x**2 - 4x. Sur de longues périodes, il devient tourbillonnant et semble devenir une distribution lisse et stable. Cependant, cette stabilité est un artefact de la pixellisation (la structure réelle est trop fine pour être perçue). Cette animation est inspirée d'une discussion de Gibbs dans son wikisource de 1902 : Elementary Principles in Statistical Mechanics, Chapter XII, p. 143 : « Tendance d'un ensemble de systèmes isolés vers un état d'équilibre statistique ».
Théorème de Pythagorethumb|right|alt=Triangle rectangle et relation algébrique entre les longueurs de ses côtés.|Relation entre les longueurs des côtés dans un triangle rectangle. Le théorème de Pythagore est un théorème de géométrie euclidienne qui met en relation les longueurs des côtés dans un triangle rectangle. Il s'énonce fréquemment sous la forme suivante : Si un triangle est rectangle, le carré de la longueur de l’hypoténuse (ou côté opposé à l'angle droit) est égal à la somme des carrés des longueurs des deux autres côtés.
Convergence uniformeLa convergence uniforme d'une suite de fonctions est une forme de convergence plus exigeante que la convergence simple. La convergence devient uniforme quand toutes les suites avancent vers leur limite respective avec une sorte de « mouvement d'ensemble ». Dans le cas de fonctions numériques d'une variable, la notion prend une forme d'« évidence » géométrique : le graphe de la fonction f se « rapproche » de celui de la limite. Soient X un ensemble, (Y, d) un espace métrique, et A un sous-ensemble de X.
Indicatrice d'Eulervignette|upright=1.5|Les mille premières valeurs de φ(n). En mathématiques, l'indicatrice d'Euler est une fonction arithmétique de la théorie des nombres, qui à tout entier naturel n non nul associe le nombre d'entiers compris entre 1 et n (inclus) et premiers avec n. Elle intervient en mathématiques pures, à la fois en théorie des groupes, en théorie algébrique des nombres et en théorie analytique des nombres. En mathématiques appliquées, à travers l'arithmétique modulaire, elle joue un rôle important en théorie de l'information et plus particulièrement en cryptologie.
Convergence de variables aléatoiresDans la théorie des probabilités, il existe différentes notions de convergence de variables aléatoires. La convergence (dans un des sens décrits ci-dessous) de suites de variables aléatoires est un concept important de la théorie des probabilités utilisé notamment en statistique et dans l'étude des processus stochastiques. Par exemple, la moyenne de n variables aléatoires indépendantes et identiquement distribuées converge presque sûrement vers l'espérance commune de ces variables aléatoires (si celle-ci existe).
Rayon de convergenceLe rayon de convergence d'une série entière est le nombre réel positif ou +∞ égal à la borne supérieure de l'ensemble des modules des nombres complexes où la série converge (au sens classique de la convergence simple): Si R est le rayon de convergence d'une série entière, alors la série est absolument convergente sur le disque ouvert D(0, R) de centre 0 et de rayon R. Ce disque est appelé disque de convergence. Cette convergence absolue entraine ce qui est parfois qualifié de convergence inconditionnelle : la valeur de la somme en tout point de ce disque ne dépend pas de l'ordre des termes.
SubmanifoldIn mathematics, a submanifold of a manifold M is a subset S which itself has the structure of a manifold, and for which the inclusion map S → M satisfies certain properties. There are different types of submanifolds depending on exactly which properties are required. Different authors often have different definitions. In the following we assume all manifolds are differentiable manifolds of class Cr for a fixed r ≥ 1, and all morphisms are differentiable of class Cr.
Fonction totient de JordanEn théorie des nombres, la k-ième fonction totient de Jordan J — nommée d'après le mathématicien Camille Jordan — est la fonction arithmétique qui à tout entier n > 0 associe le nombre de k-uplets d'entiers compris entre 1 et n qui, joints à n, forment un k + 1-uplet de nombres premiers entre eux. C'est une généralisation de la fonction φ d'Euler, qui est J. La fonction J est multiplicative et vaut où le produit est indexé par tous les diviseurs premiers p de n.
Indicatrice de Carmichaelvignette|upright=2|Fonction λ de Carmichael : λ(n) pour 1 ≤ n ≤ 1000 (avec les valeurs de la fonction φ d'Euler en comparaison) La fonction indicatrice de Carmichael, ou indicateur de Carmichael ou encore fonction de Carmichael, notée λ, est définie sur les entiers naturels strictement positifs ; elle associe à un entier n le plus petit entier m vérifiant, pour tout entier a premier avec n, am ≡ 1 mod n. Elle est introduite par Robert Daniel Carmichael dans un article de 1910.
