AttracteurDans l'étude des systèmes dynamiques, un attracteur (ou ensemble-limite) est un ensemble d'états vers lequel un système évolue de façon irréversible en l'absence de perturbations. Constituants de base de la théorie du chaos, au moins cinq types sont définis : ponctuel, quasi périodique, périodique, étrange et spatial. Stephen Smale serait à l'origine du terme attracteur.
Probabilitévignette|Quatre dés à six faces de quatre couleurs différentes. Les six faces possibles sont visibles. Le terme probabilité possède plusieurs sens : venu historiquement du latin probabilitas, il désigne l'opposé du concept de certitude ; il est également une évaluation du caractère probable d'un événement, c'est-à-dire qu'une valeur permet de représenter son degré de certitude ; récemment, la probabilité est devenue une science mathématique et est appelée théorie des probabilités ou plus simplement probabilités ; enfin une doctrine porte également le nom de probabilisme.
Théorie des probabilitésLa théorie des probabilités en mathématiques est l'étude des phénomènes caractérisés par le hasard et l'incertitude. Elle forme avec la statistique les deux sciences du hasard qui sont partie intégrante des mathématiques. Les débuts de l'étude des probabilités correspondent aux premières observations du hasard dans les jeux ou dans les phénomènes climatiques par exemple. Bien que le calcul de probabilités sur des questions liées au hasard existe depuis longtemps, la formalisation mathématique n'est que récente.
Loi de probabilitéthumb|400px 3 répartitions.png En théorie des probabilités et en statistique, une loi de probabilité décrit le comportement aléatoire d'un phénomène dépendant du hasard. L'étude des phénomènes aléatoires a commencé avec l'étude des jeux de hasard. Jeux de dés, tirage de boules dans des urnes et jeu de pile ou face ont été des motivations pour comprendre et prévoir les expériences aléatoires. Ces premières approches sont des phénomènes discrets, c'est-à-dire dont le nombre de résultats possibles est fini ou infini dénombrable.
Axiomes des probabilitésEn théorie des probabilités, les axiomes de probabilités, également appelés axiomes de Kolmogorov du nom d'Andreï Nikolaievitch Kolmogorov qui les a développés, désignent les propriétés que doit vérifier une application afin de formaliser l'idée de probabilité. Ces propriétés peuvent être résumées ainsi : si est une mesure sur un espace mesurable , alors doit être un espace de probabilité. Le théorème de Cox fournit une autre approche pour formaliser les probabilités, privilégiée par certains bayésiens.
Probabilité conditionnellevignette|Illustration des probabilités conditionnelles avec un diagramme d'Euler. On a la probabilité a priori et les probabilités conditionnelles , et .|320x320px En théorie des probabilités, une probabilité conditionnelle est la probabilité d'un événement sachant qu'un autre événement a eu lieu. Par exemple, si une carte d'un jeu est tirée au hasard, on estime qu'il y a une chance sur quatre d'obtenir un cœur ; mais si on aperçoit un reflet rouge sur la table, il y a maintenant une chance sur deux d'obtenir un cœur.
Bayesian probabilityBayesian probability (ˈbeɪziən or ˈbeɪʒən ) is an interpretation of the concept of probability, in which, instead of frequency or propensity of some phenomenon, probability is interpreted as reasonable expectation representing a state of knowledge or as quantification of a personal belief. The Bayesian interpretation of probability can be seen as an extension of propositional logic that enables reasoning with hypotheses; that is, with propositions whose truth or falsity is unknown.
Espace probabiliséUn espace de probabilité(s) ou espace probabilisé est construit à partir d'un espace probabilisable en le complétant par une mesure de probabilité : il permet la modélisation quantitative de l'expérience aléatoire étudiée en associant une probabilité numérique à tout événement lié à l'expérience. Formellement, c'est un triplet formé d'un ensemble , d'une tribu sur et d'une mesure sur cette tribu tel que . L'ensemble est appelé l'univers et les éléments de sont appelés les événements.
Anosov diffeomorphismIn mathematics, more particularly in the fields of dynamical systems and geometric topology, an Anosov map on a manifold M is a certain type of mapping, from M to itself, with rather clearly marked local directions of "expansion" and "contraction". Anosov systems are a special case of Axiom A systems. Anosov diffeomorphisms were introduced by Dmitri Victorovich Anosov, who proved that their behaviour was in an appropriate sense generic (when they exist at all).
Frequentist probabilityFrequentist probability or frequentism is an interpretation of probability; it defines an event's probability as the limit of its relative frequency in many trials (the long-run probability). Probabilities can be found (in principle) by a repeatable objective process (and are thus ideally devoid of opinion). The continued use of frequentist methods in scientific inference, however, has been called into question. The development of the frequentist account was motivated by the problems and paradoxes of the previously dominant viewpoint, the classical interpretation.
Point périodiquevignette|Diagramme explicatif du point périodique de période 4 du système dynamique discret f En mathématiques, un point périodique pour une fonction est un point fixe pour l’une des fonctions itérées. La période de ce point est alors la période de la suite récurrente associée. De tels points périodiques apparaissent facilement avec une suite logistique lorsque le paramètre μ dépasse la valeur 3. Le théorème de Charkovski donne un ordre sur les périodes pouvant apparaitre dans les suites récurrentes réelles simples associée à une fonction donnée.
Attracteur de HénonL'attracteur de Hénon est un système dynamique à temps discret. C'est l'un des systèmes dynamiques ayant un comportement chaotique les plus étudiés. L'attracteur de Hénon prend tout point du plan (x, y) et lui associe le nouveau point : Il dépend de deux paramètres, a et b, qui ont pour valeurs canoniques : a = 1,4 et b = 0,3. Pour ces valeurs, l'attracteur de Hénon est chaotique. Pour d'autres valeurs de a et b, il peut être chaotique, intermittent ou converger vers une orbite périodique.
Chat d'ArnoldEn mathématiques, l'application chat d'Arnold est une certaine bijection du tore vers lui-même. Cette fonction sert à illustrer des comportements chaotiques en théorie des systèmes dynamiques. Elle porte ce nom inhabituel parce que Vladimir Arnold l'a décrite en 1967 en s'aidant du dessin d'un chat. thumb|L'effet de l'opération modulo sur le parallélogramme. On peut repérer les points sur le tore à l'aide de deux coordonnées x et y chacune dans l'intervalle [0, 1], cela revient à « déplier » ce tore pour obtenir un carré.
Invariant measureIn mathematics, an invariant measure is a measure that is preserved by some function. The function may be a geometric transformation. For examples, circular angle is invariant under rotation, hyperbolic angle is invariant under squeeze mapping, and a difference of slopes is invariant under shear mapping. Ergodic theory is the study of invariant measures in dynamical systems. The Krylov–Bogolyubov theorem proves the existence of invariant measures under certain conditions on the function and space under consideration.
Système dynamiqueEn mathématiques, en chimie ou en physique, un système dynamique est la donnée d’un système et d’une loi décrivant l'évolution de ce système. Ce peut être l'évolution d'une réaction chimique au cours du temps, le mouvement des planètes dans le système solaire (régi par la loi universelle de la gravitation de Newton) ou encore l'évolution de la mémoire d'un ordinateur sous l'action d'un programme informatique. Formellement on distingue les systèmes dynamiques à temps discrets (comme un programme informatique) des systèmes dynamiques à temps continu (comme une réaction chimique).
Stock and flowEconomics, business, accounting, and related fields often distinguish between quantities that are stocks and those that are flows. These differ in their units of measurement. A stock is measured at one specific time, and represents a quantity existing at that point in time (say, December 31, 2004), which may have accumulated in the past. A flow variable is measured over an interval of time. Therefore, a flow would be measured per unit of time (say a year). Flow is roughly analogous to rate or speed in this sense.
Robe noire du chatLa robe noire du chat est due aux poils noirs et à la peau également pigmentée. L'apparition des poils noirs est codée par le gène B dont on reconnaît trois allèles. La couleur noire est souvent réduite au chat unicolore noir, cependant, elle peut se marier avec tous les patrons de robe de chat. La robe unie noire du chat est associée en Occident à de nombreuses superstitions ; par exemple, dans beaucoup des pays, croiser un chat noir porterait malheur. Les anarchistes ont fait du chat noir un de leurs symboles.
Système dynamique mesuréUn système dynamique mesuré est un objet mathématique, représentant un espace de phases muni d'une loi d'évolution, particulièrement étudié en théorie ergodique. Un système dynamique mesuré est la donnée d'un espace probabilisé et d'une application mesurable f : X → X. On exige que f préserve la mesure, ce qui veut dire que : Cette propriété très riche permet d'obtenir de puissants théorèmes. Par ailleurs, un théorème affirme qu'il existe, pour toute transformation continue X → X d'un espace topologique compact X, une mesure de probabilité, borélienne, préservant cette transformation.
Variété stableLes variétés stables jouent un rôle central dans les systèmes dynamiques différentiables en temps continu. Cette notion est aussi au centre de l'homologie de Floer. Soit une fonction différentiable sur une variété différentielle compacte de dimension . Considérons une métrique riemannienne sur . Le champ de gradient de est défini par Un point critique est dit non dégénéré lorsque la hessienne est une forme blinéaire non dégénérée sur .
ChatLe Chat domestique (Felis catus) est une espèce de mammifères carnivores, de la famille des Félidés. Issu de la domestication du chat sauvage Felis silvestris, il était anciennement considéré comme une sous-espèce de celui-ci, sous la dénomination Felis silvestris catus. Le Chat domestique est l’un des principaux animaux de compagnie et compte aujourd’hui une cinquantaine de races différentes reconnues par les instances de certification. Dans de très nombreux pays, le chat entre dans le cadre de la législation sur les carnivores domestiques à l’instar du chien et du furet.
