ErgodicityIn mathematics, ergodicity expresses the idea that a point of a moving system, either a dynamical system or a stochastic process, will eventually visit all parts of the space that the system moves in, in a uniform and random sense. This implies that the average behavior of the system can be deduced from the trajectory of a "typical" point. Equivalently, a sufficiently large collection of random samples from a process can represent the average statistical properties of the entire process.
Théorie ergodiquevignette|Flux d'un ensemble statistique dans le potentiel x6 + 4*x3 - 5x**2 - 4x. Sur de longues périodes, il devient tourbillonnant et semble devenir une distribution lisse et stable. Cependant, cette stabilité est un artefact de la pixellisation (la structure réelle est trop fine pour être perçue). Cette animation est inspirée d'une discussion de Gibbs dans son wikisource de 1902 : Elementary Principles in Statistical Mechanics, Chapter XII, p. 143 : « Tendance d'un ensemble de systèmes isolés vers un état d'équilibre statistique ».
Hypothèse ergodiqueL'hypothèse ergodique, ou hypothèse d'ergodicité, est une hypothèse fondamentale de la physique statistique. Elle fut formulée initialement par Ludwig Boltzmann en 1871 pour les besoins de sa théorie cinétique des gaz. Elle s'appliquait alors aux systèmes composés d'un très grand nombre de particules, et affirmait qu'à l'équilibre, la valeur moyenne d'une grandeur calculée de manière statistique est égale à la moyenne d'un très grand nombre de mesures prises dans le temps.
Processus ergodiqueUn est un processus stochastique pour lequel les statistiques peuvent être approchées par l'étude d'une seule réalisation suffisamment longue. Le théorème ergodique affirme que, sous condition, converge vers une limite pour presque toutes les réalisations , mais ne garantit pas l'égalité des à l'espérance . Un signal peut être: stationnaire mais non ergodique : par exemple le signal constant pour chaque réalisation. ergodique mais non stationnaire : par exemple le signal .
Forme de connexionEn géométrie différentielle, une 1-forme de connexion est une forme différentielle sur un -fibré principal qui vérifie certains axiomes. La donnée d'une forme de connexion permet de parler, entre autres, de courbure, de torsion, de dérivée covariante, de relevé horizontal, de transport parallèle, d'holonomie et de théorie de jauge. La notion de forme de connexion est intimement reliée à la notion de connexion d'Ehresmann. Soient : un groupe de Lie ; l'élément identité de ; l'algèbre de Lie de ; la représentation adjointe de sur ; une variété différentielle ; un -fibré principal sur .
Connexion (mathématiques)En géométrie différentielle, la connexion est un outil pour réaliser le transport parallèle. Il existe plusieurs présentations qui dépendent de l'utilisation faite. Cette notion a été développée au début des années 1920 par Élie Cartan et Hermann Weyl (avec comme cas particulier celle de connexion affine), puis reformulée en 1951 par Charles Ehresmann et Jean-Louis Koszul. Connexion de Koszul La connexion de Koszul est un opérateur sur des espaces de sections.
Connexion de KoszulEn géométrie différentielle, une connexion (de Koszul) est un opérateur sur les sections d'un fibré vectoriel. Cette notion a été introduite par Jean-Louis Koszul en 1950 et formalise le transport parallèle de vecteurs le long d'une courbe en termes d'équation différentielle ordinaire. Les connexions sont des objets localement définis auxquels sont associées les notions de courbure et de torsion. L'un des exemples les plus simples de connexions de Koszul sans torsion est la connexion de Levi-Civita naturellement définie sur le fibré tangent de toute variété riemannienne.
Connexion de Levi-CivitaEn géométrie riemannienne, la connexion de Levi-Civita est une connexion de Koszul naturellement définie sur toute variété riemannienne ou par extension sur toute variété pseudo-riemannienne. Ses propriétés caractérisent la variété riemannienne. Notamment, les géodésiques, courbes minimisant localement la distance riemannienne, sont exactement les courbes pour lesquelles le vecteur vitesse est parallèle. De plus, la courbure de la variété se définit à partir de cette connexion ; des conditions sur la courbure imposent des contraintes topologiques sur la variété.
Conservative systemIn mathematics, a conservative system is a dynamical system which stands in contrast to a dissipative system. Roughly speaking, such systems have no friction or other mechanism to dissipate the dynamics, and thus, their phase space does not shrink over time. Precisely speaking, they are those dynamical systems that have a null wandering set: under time evolution, no portion of the phase space ever "wanders away", never to be returned to or revisited. Alternately, conservative systems are those to which the Poincaré recurrence theorem applies.
Metric connectionIn mathematics, a metric connection is a connection in a vector bundle E equipped with a bundle metric; that is, a metric for which the inner product of any two vectors will remain the same when those vectors are parallel transported along any curve. This is equivalent to: A connection for which the covariant derivatives of the metric on E vanish. A principal connection on the bundle of orthonormal frames of E. A special case of a metric connection is a Riemannian connection; there is a unique such which is torsion free, the Levi-Civita connection.
Système dynamiqueEn mathématiques, en chimie ou en physique, un système dynamique est la donnée d’un système et d’une loi décrivant l'évolution de ce système. Ce peut être l'évolution d'une réaction chimique au cours du temps, le mouvement des planètes dans le système solaire (régi par la loi universelle de la gravitation de Newton) ou encore l'évolution de la mémoire d'un ordinateur sous l'action d'un programme informatique. Formellement on distingue les systèmes dynamiques à temps discrets (comme un programme informatique) des systèmes dynamiques à temps continu (comme une réaction chimique).
Croissance exponentiellethumb|Comparaison entre une croissance linéaire (en rouge), cubique (en bleu) et exponentielle (en vert) |300x300px La croissance exponentielle d'une quantité est son augmentation au fil du temps selon une loi exponentielle. On l'observe quand la dérivée par rapport au temps de cette quantité (c'est-à-dire son taux de variation instantané) est positive et proportionnelle à la quantité elle-même. Dans la langue courante on emploie souvent, mais improprement, le terme « croissance exponentielle » pour qualifier une augmentation simplement accélérée, quand la dérivée est elle-même croissante.
Dynamique des populationsLa dynamique des populations est une branche de l'écologie qui s’intéresse à la fluctuation dans le temps du nombre d'individus au sein d'une population d’êtres vivants. Elle a également pour but de comprendre les influences environnementales sur les effectifs des populations. La structuration de la population par âge, poids, l'environnement, la biologie des groupes, et les processus qui influent sur ces changements font également partie de son champ d'étude.
Théorie du chaosLa théorie du chaos est une théorie scientifique rattachée aux mathématiques et à la physique qui étudie le comportement des systèmes dynamiques sensibles aux conditions initiales, un phénomène généralement illustré par l'effet papillon. Dans de nombreux systèmes dynamiques, des modifications infimes des conditions initiales entraînent des évolutions rapidement divergentes, rendant toute prédiction impossible à long terme.
Mercure (planète)Mercure est la planète la plus proche du Soleil et la moins massive du Système solaire. Son éloignement au Soleil est compris entre (soit 46 et de kilomètres), ce qui correspond à une excentricité orbitale de 0,2 . Elle est visible à l'œil nu depuis la Terre avec un diamètre apparent de , et une magnitude apparente de ; son observation est toutefois rendue difficile par son élongation toujours inférieure à 28,3° qui la noie le plus souvent dans l'éclat du soleil.
Pluton (planète naine)Pluton, officiellement désignée par (134340) Pluton (désignation internationale : (134340) Pluto), est une planète naine, la plus volumineuse connue dans le Système solaire ( de diamètre, contre pour Éris), et la deuxième en ce qui concerne sa masse (après Éris). Pluton est ainsi le neuvième plus gros objet connu orbitant directement autour du Soleil et le dixième par la masse. Premier objet transneptunien identifié, Pluton orbite autour du Soleil à une distance variant entre et appartient à la ceinture de Kuiper, ceinture dont il est (tant par la taille que par la masse) le plus grand membre connu.
Orbitevignette|La Station spatiale internationale en orbite au-dessus de la Terre. En mécanique céleste et en mécanique spatiale, une orbite () est la courbe fermée représentant la trajectoire que dessine, dans l'espace, un objet céleste sous l'effet de la gravitation et de forces d'inertie. Une orbite est ainsi la courbe tracée par une trajectoire périodique. Dans le Système solaire, la Terre, les autres planètes, les astéroïdes et les comètes sont en orbite autour du Soleil.
Classification of Fatou componentsIn mathematics, Fatou components are components of the Fatou set. They were named after Pierre Fatou. If f is a rational function defined in the extended complex plane, and if it is a nonlinear function (degree > 1) then for a periodic component of the Fatou set, exactly one of the following holds: contains an attracting periodic point is parabolic is a Siegel disc: a simply connected Fatou component on which f(z) is analytically conjugate to a Euclidean rotation of the unit disc onto itself by an irrational rotation angle.
Population dynamics of fisheriesA fishery is an area with an associated fish or aquatic population which is harvested for its commercial or recreational value. Fisheries can be wild or farmed. Population dynamics describes the ways in which a given population grows and shrinks over time, as controlled by birth, death, and migration. It is the basis for understanding changing fishery patterns and issues such as habitat destruction, predation and optimal harvesting rates. The population dynamics of fisheries is used by fisheries scientists to determine sustainable yields.
Vol orbitalvignette|Soyouz en vol orbital lors de la Apollo-Soyouz en 1975. Un vol orbital est un vol spatial où l'engin est placé en orbite autour d'un astre, ce qui signifie qu'il décrit une trajectoire circulaire autour de celui-ci sous l'effet de la gravitation. Pour mettre en orbite un satellite, il faut lui faire atteindre une vitesse et une altitude suffisante. Pour atteindre une orbite terrestre basse, le satellite doit atteindre la première vitesse cosmique qui représente la vitesse de satellisation minimale autour de la Terre.
