Théorème de la progression arithmétiqueEn mathématiques, et plus précisément en théorie des nombres, le théorème de la progression arithmétique, s'énonce de la façon suivante : Ce théorème est une généralisation du théorème d'Euclide sur les nombres premiers. Sa première démonstration, due au mathématicien allemand Gustav Lejeune Dirichlet en 1838, fait appel aux résultats de l'arithmétique modulaire et à ceux de la théorie analytique des nombres. La première démonstration « élémentaire » est due à Atle Selberg en 1949.
Théorème fondamental de l'arithmétiqueEn mathématiques, et en particulier en arithmétique élémentaire, le théorème fondamental de l'arithmétique ou théorème de décomposition en produit de facteurs premiers s'énonce ainsi : tout entier strictement positif peut être écrit comme un produit de nombres premiers d'une unique façon, à l'ordre près des facteurs. Par exemple, nous pouvons écrire que : = 2 × 3 × 17 ou encore = 2 × 3 × 5 et il n'existe aucune autre factorisation de ou sous forme de produits de nombres premiers, excepté par réarrangement des facteurs ci-dessus.
Somme de RamanujanEn théorie des nombres, une branche des mathématiques, une somme de Ramanujan, habituellement notée cq(n), est une fonction de deux variables entières q et n, avec q ≥ 1, définie par la formule : où le pgcd est le plus grand commun diviseur. La somme est donc effectuée sur les classes de congruence inversibles modulo q. Srinivasa Ramanujan fit une publication sur le sujet en 1918. Les sommes de Ramanujan interviennent de façon récurrente en théorie des nombres, par exemple dans la preuve du théorème de Vinogradov sur les sommes de trois nombres premiers.
Ordre moyen d'une fonction arithmétiqueEn théorie des nombres, un ordre moyen d'une fonction arithmétique f est une fonction «simple» g approchant f en moyenne. Plus précisément un ordre moyen de f est une fonction g réelle ou complexe, si possible continue et monotone, telle qu'on ait : Autrement dit, les moyennes arithmétiques de f et g entre 1 et n sont des fonctions asymptotiquement équivalentes. Une telle fonction g n'est bien entendu pas unique. vignette|upright=1.
Fonction de compte des nombres premiersEn mathématiques, la fonction de compte des nombres premiers est la fonction comptant le nombre de nombres premiers inférieurs ou égaux à un nombre réel x. Elle est notée π(x) (à ne pas confondre avec la constante π). L’image ci-contre illustre la fonction π(n) pour les valeurs entières de la variable. Elle met en évidence les augmentations de 1 que la fonction subit à chaque fois que x est égal à un nombre premier. Soit l'ensemble des nombres premiers et un nombre réel.
Fonction de Tchebychevvignette|La fonction de Tchebychev ψ(x) pour x < 50 En mathématiques, la fonction de Tchebychev peut désigner deux fonctions utilisées en théorie des nombres. La première fonction de Tchebychev θ(x) ou θ(x) est donnée par où la somme est définie sur les nombres premiers p inférieurs ou égaux à x. La seconde fonction de Tchebychev ψ(x) est définie de façon similaire, la somme s'étendant aux puissances premières inférieures à x : où Λ désigne la fonction de von Mangoldt.
Nombre de Mersenne premiervignette|droite|Le moine français Marin Mersenne (1588-1648) En mathématiques et plus précisément en arithmétique, un nombre de Mersenne est un nombre de la forme 2 − 1 (souvent noté ), où est un entier naturel non nul ; un nombre de Mersenne premier (ou nombre premier de Mersenne) est donc un nombre premier de cette forme. Ces nombres doivent leur nom au religieux érudit et mathématicien français du Marin Mersenne ; mais, près de auparavant, Euclide les utilisait déjà pour étudier les nombres parfaits.
Régularisation zêtaEn analyse fonctionnelle, la régularisation zêta est une méthode de régularisation des déterminants d'opérateurs qui apparaissent lors de calculs d'intégrales de chemins en théorie quantique des champs. Soit un domaine compact de à bord . Sur ce domaine, on considère l'opérateur positif , où est le Laplacien, muni de conditions aux limites sur le bord du domaine (Dirichlet, Neumann, mixtes) qui précisent complètement le problème.
Convolution de DirichletEn mathématiques, la convolution de Dirichlet, encore appelée produit de convolution de Dirichlet ou produit de Dirichlet est une loi de composition interne définie sur l'ensemble des fonctions arithmétiques, c'est-à-dire des fonctions définies sur les entiers strictement positifs et à valeurs dans les nombres complexes. Cette loi de convolution est utilisée en arithmétique, aussi bien algébrique qu'analytique. On la trouve aussi pour résoudre des questions de dénombrement.
Pôle (mathématiques)thumb|Représentation de la fonction avec deux pôles d'ordre 1, en z = et z = -. En analyse complexe, un pôle d'une fonction holomorphe est un certain type de singularité isolée qui se comporte comme la singularité en z = 0 de la fonction , où n est un entier naturel non nul. Une fonction holomorphe n'ayant que des singularités isolées qui sont des pôles est appelée une fonction méromorphe. Soient U un ouvert du plan complexe C, a un élément de U et une fonction holomorphe.
Analyse complexeL'analyse complexe est un domaine des mathématiques traitant des fonctions à valeurs complexes (ou, plus généralement, à valeurs dans un C-espace vectoriel) et qui sont dérivables par rapport à une ou plusieurs variables complexes. Les fonctions dérivables sur un ouvert du plan complexe sont appelées holomorphes et satisfont de nombreuses propriétés plus fortes que celles vérifiées par les fonctions dérivables en analyse réelle. Entre autres, toute fonction holomorphe est analytique et vérifie le principe du maximum.
Série entièreEn mathématiques et particulièrement en analyse, une série entière est une série de fonctions de la forme où les coefficients a forment une suite réelle ou complexe. Une explication de ce terme est qu'. Les séries entières possèdent des propriétés de convergence remarquables, qui s'expriment pour la plupart à l'aide de son rayon de convergence R, grandeur associée à la série. Sur le disque de convergence (disque ouvert de centre 0 et de rayon R), la fonction somme de la série peut être dérivée indéfiniment terme à terme.
