Indicatrice d'Eulervignette|upright=1.5|Les mille premières valeurs de φ(n). En mathématiques, l'indicatrice d'Euler est une fonction arithmétique de la théorie des nombres, qui à tout entier naturel n non nul associe le nombre d'entiers compris entre 1 et n (inclus) et premiers avec n. Elle intervient en mathématiques pures, à la fois en théorie des groupes, en théorie algébrique des nombres et en théorie analytique des nombres. En mathématiques appliquées, à travers l'arithmétique modulaire, elle joue un rôle important en théorie de l'information et plus particulièrement en cryptologie.
Probabilitévignette|Quatre dés à six faces de quatre couleurs différentes. Les six faces possibles sont visibles. Le terme probabilité possède plusieurs sens : venu historiquement du latin probabilitas, il désigne l'opposé du concept de certitude ; il est également une évaluation du caractère probable d'un événement, c'est-à-dire qu'une valeur permet de représenter son degré de certitude ; récemment, la probabilité est devenue une science mathématique et est appelée théorie des probabilités ou plus simplement probabilités ; enfin une doctrine porte également le nom de probabilisme.
Théorie des probabilitésLa théorie des probabilités en mathématiques est l'étude des phénomènes caractérisés par le hasard et l'incertitude. Elle forme avec la statistique les deux sciences du hasard qui sont partie intégrante des mathématiques. Les débuts de l'étude des probabilités correspondent aux premières observations du hasard dans les jeux ou dans les phénomènes climatiques par exemple. Bien que le calcul de probabilités sur des questions liées au hasard existe depuis longtemps, la formalisation mathématique n'est que récente.
Fonction totient de JordanEn théorie des nombres, la k-ième fonction totient de Jordan J — nommée d'après le mathématicien Camille Jordan — est la fonction arithmétique qui à tout entier n > 0 associe le nombre de k-uplets d'entiers compris entre 1 et n qui, joints à n, forment un k + 1-uplet de nombres premiers entre eux. C'est une généralisation de la fonction φ d'Euler, qui est J. La fonction J est multiplicative et vaut où le produit est indexé par tous les diviseurs premiers p de n.
Loi de probabilitéthumb|400px 3 répartitions.png En théorie des probabilités et en statistique, une loi de probabilité décrit le comportement aléatoire d'un phénomène dépendant du hasard. L'étude des phénomènes aléatoires a commencé avec l'étude des jeux de hasard. Jeux de dés, tirage de boules dans des urnes et jeu de pile ou face ont été des motivations pour comprendre et prévoir les expériences aléatoires. Ces premières approches sont des phénomènes discrets, c'est-à-dire dont le nombre de résultats possibles est fini ou infini dénombrable.
Probabilité conditionnellevignette|Illustration des probabilités conditionnelles avec un diagramme d'Euler. On a la probabilité a priori et les probabilités conditionnelles , et .|320x320px En théorie des probabilités, une probabilité conditionnelle est la probabilité d'un événement sachant qu'un autre événement a eu lieu. Par exemple, si une carte d'un jeu est tirée au hasard, on estime qu'il y a une chance sur quatre d'obtenir un cœur ; mais si on aperçoit un reflet rouge sur la table, il y a maintenant une chance sur deux d'obtenir un cœur.
Théorème d'Euler (arithmétique)vignette|Leonhard Euler (1753) En mathématiques, le théorème d'Euler ou d'Euler-Fermat en arithmétique modulaire, publié en 1761 par le mathématicien suisse Leonhard Euler, s'énonce ainsi : Ce théorème est une généralisation du petit théorème de Fermat qui, lui, ne traite que le cas où n est un nombre premier. Il se démontre en remarquant que l'exposant λ(n) (appelé l'indicatrice de Carmichael de n) du groupe (Z/nZ) des inversibles de l'anneau Z/nZ est un diviseur de l'ordre φ(n) de ce groupe (cette propriété, commune à tous les groupes finis, se déduit du théorème de Lagrange sur les groupes).
Axiomes des probabilitésEn théorie des probabilités, les axiomes de probabilités, également appelés axiomes de Kolmogorov du nom d'Andreï Nikolaievitch Kolmogorov qui les a développés, désignent les propriétés que doit vérifier une application afin de formaliser l'idée de probabilité. Ces propriétés peuvent être résumées ainsi : si est une mesure sur un espace mesurable , alors doit être un espace de probabilité. Le théorème de Cox fournit une autre approche pour formaliser les probabilités, privilégiée par certains bayésiens.
Fonction multiplicativeEn arithmétique, une fonction multiplicative est une fonction arithmétique f : N* → C vérifiant les deux conditions suivantes : f(1) = 1 ; pour tous entiers a et b > 0 premiers entre eux, on a : f (ab) = f(a)f(b). Une fonction complètement multiplicative est une fonction arithmétique g vérifiant : g(1) = 1 ; pour tous entiers a et b > 0, on a : g(ab) = g(a)g(b). Ces dénominations peuvent varier d'un ouvrage à un autre : fonction faiblement multiplicative pour fonction multiplicative, fonction multiplicative ou totalement multiplicative pour fonction complètement multiplicative.
Espace probabiliséUn espace de probabilité(s) ou espace probabilisé est construit à partir d'un espace probabilisable en le complétant par une mesure de probabilité : il permet la modélisation quantitative de l'expérience aléatoire étudiée en associant une probabilité numérique à tout événement lié à l'expérience. Formellement, c'est un triplet formé d'un ensemble , d'une tribu sur et d'une mesure sur cette tribu tel que . L'ensemble est appelé l'univers et les éléments de sont appelés les événements.
Bayesian probabilityBayesian probability (ˈbeɪziən or ˈbeɪʒən ) is an interpretation of the concept of probability, in which, instead of frequency or propensity of some phenomenon, probability is interpreted as reasonable expectation representing a state of knowledge or as quantification of a personal belief. The Bayesian interpretation of probability can be seen as an extension of propositional logic that enables reasoning with hypotheses; that is, with propositions whose truth or falsity is unknown.
Fonction arithmétiqueEn théorie des nombres, une fonction arithmétique f est une application définie sur l'ensemble des entiers strictement positifs et à valeurs dans l'ensemble des nombres complexes. En d'autres termes, une fonction arithmétique n'est rien d'autre qu'une suite de nombres complexes, indexée par N*. Les fonctions arithmétiques les plus étudiées sont les fonctions additives et les fonctions multiplicatives. Une opération importante sur les fonctions arithmétiques est le produit de convolution de Dirichlet.
Indicatrice de Carmichaelvignette|upright=2|Fonction λ de Carmichael : λ(n) pour 1 ≤ n ≤ 1000 (avec les valeurs de la fonction φ d'Euler en comparaison) La fonction indicatrice de Carmichael, ou indicateur de Carmichael ou encore fonction de Carmichael, notée λ, est définie sur les entiers naturels strictement positifs ; elle associe à un entier n le plus petit entier m vérifiant, pour tout entier a premier avec n, am ≡ 1 mod n. Elle est introduite par Robert Daniel Carmichael dans un article de 1910.
Principe d'inclusion-exclusionthumb|Exemple d'inclusion-exclusion à partir de trois ensembles. En combinatoire, le principe d’inclusion-exclusion permet d’exprimer le nombre d’éléments (ou cardinal) d'une réunion finie d'ensembles finis en fonction du nombre d'éléments de ces ensembles et de leurs intersections. Il se généralise en termes de probabilités. Il est attribué au mathématicien Abraham de Moivre, et connu également (lui ou sa version probabiliste) sous le nom de formule du crible de Poincaré, formule de Poincaré, ou formule du crible.
Frequentist probabilityFrequentist probability or frequentism is an interpretation of probability; it defines an event's probability as the limit of its relative frequency in many trials (the long-run probability). Probabilities can be found (in principle) by a repeatable objective process (and are thus ideally devoid of opinion). The continued use of frequentist methods in scientific inference, however, has been called into question. The development of the frequentist account was motivated by the problems and paradoxes of the previously dominant viewpoint, the classical interpretation.
Formule d'inversion de MöbiusLa formule d'inversion de Möbius classique a été introduite dans la théorie des nombres au cours du par August Ferdinand Möbius. Elle a été généralisée plus tard à d'autres « formules d'inversion de Möbius ». La version classique déclare que pour toutes fonctions arithmétiques f et g, on a si et seulement si f est la transformée de Möbius de g, où μ est la fonction de Möbius et les sommes portent sur tous les diviseurs strictement positifs d de n.
Interprétations de la probabilitéLe mot probabilité a été utilisé dans une variété de domaines depuis qu'il a été appliqué à l'étude mathématique des jeux de hasard. Est-ce que la probabilité mesure la tendance réelle physique de quelque chose de se produire, ou est-ce qu'elle est une mesure du degré auquel on croit qu'elle se produira, ou faut-il compter sur ces deux éléments ? Pour répondre à ces questions, les mathématiciens interprètent les valeurs de probabilité de la théorie des probabilités.
Constante d'Euler-MascheroniEn mathématiques, la constante d'Euler-Mascheroni, ou constante d'Euler, est une constante mathématique définie comme la limite de la différence entre la série harmonique et le logarithme naturel. On la note usuellement (gamma minuscule). La constante d'Euler-Mascheroni γ est définie de la manière suivante : De façon condensée, on obtient : La constante peut également être définie sous la forme explicite d'une série (telle qu'elle fut d'ailleurs introduite par Euler) : La série harmonique diverge, tout comme la suite de terme général ln(n) ; l'existence de cette constante indique que les deux expressions sont asymptotiquement liées.
Signature d'une permutationEn mathématiques, une permutation de support fini est dite paire si elle présente un nombre pair d'inversions, impaire sinon. La signature d'une permutation vaut 1 si celle-ci est paire, –1 si elle est impaire. L'application signature, du groupe symétrique dans le groupe ({–1, 1}, ×), est un morphisme, c'est-à-dire qu'elle vérifie une propriété analogue à la règle des signes. Toute permutation se décompose en un produit de transpositions.
PermutationEn mathématiques, la notion de permutation exprime l'idée de réarrangement d'objets discernables. Une permutation d'objets distincts rangés dans un certain ordre correspond à un changement de l'ordre de succession de ces objets. La permutation est une des notions fondamentales en combinatoire, c'est-à-dire pour des problèmes de dénombrement et de probabilités discrètes. Elle sert ainsi à définir et à étudier le carré magique, le carré latin, le sudoku, ou le Rubik's Cube.
