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Catégories de functors: (Co)Limites et ensembles simpliciaux

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Dans cours

MATH-436: Topology V.a - Homotopical algebra

This course will provide an introduction to model category theory, which is an abstract framework for generalizing homotopy theory beyond topological spaces and continuous maps. We will study numerous examples of model categories and their applications in ...

Description

Cette séance de cours s'inscrit dans le calcul de (co)limites dans les catégories de functeurs, en mettant l'accent sur des ensembles simpliciaux. L'instructeur explique le processus de calcul des limites et des colimites dans les catégories, en commençant par les petites catégories J et I. La séance de cours couvre le calcul de limi, &, et colimi I, avec des exemples tels que le cas J = Deux. Les diapositives discutent également de l'histoire des ensembles simpliciaux et de leur signification dans l'algèbre homotopique. En outre, la séance de cours explore le concept d'égaliseurs et de coégalisateurs de cartes simpliciales, soulignant l'importance des visages et des dégénérescences dans leur définition.

Source officielle

Proximité ontologique

Mathématiques

Algèbre: Algèbre générale

Topologie: Topologie algébrique

Concepts associés (32)

Limite (théorie des catégories)

La notion de limite est une construction catégorique abstraite, qui rend compte d'objets tels que les produits, les produits fibrés et les limites projectives. La construction duale, la colimite, rend compte entre autres des coproduits, sommes amalgamées et limites inductives. Dans certains cas, cette notion coïncide avec la limite au sens de l'analyse. Soit une catégorie. On considère un diagramme dans , traduit par un foncteur . Dans de nombreux cas, on considère une petite catégorie, voire finie, et on parle respectivement de petit diagramme ou de diagramme fini.

Coequalizer

In , a coequalizer (or coequaliser) is a generalization of a quotient by an equivalence relation to objects in an arbitrary . It is the categorical construction to the equalizer. A coequalizer is a colimit of the diagram consisting of two objects X and Y and two parallel morphisms f, g : X → Y. More explicitly, a coequalizer of the parallel morphisms f and g can be defined as an object Q together with a morphism q : Y → Q such that q ∘ f = q ∘ g.

Catégorie de foncteurs

Une catégorie de foncteurs ou catégorie des foncteurs entre deux catégories est une catégorie dont les objets sont les foncteurs entre ces catégories, et les morphismes sont les transformations naturelles entre ces foncteurs. Soient et des catégories. On définit la catégorie de foncteurs de dans , notée , ou parfois ou : Les objets de sont les foncteurs de dans ; Les morphismes sont les transformations naturelles. Il existe, pour tout objet F, un morphisme correspondant à l'identité incarné par le foncteur .

Foncteur

Dans la théorie des catégories, un foncteur est une construction transformant les objets et morphismes d'une catégorie en ceux d'une autre catégorie, d'une façon compatible. On parle alors d'une construction fonctorielle ou de fonctorialité. Une telle construction est donc un morphisme entre deux catégories. Historiquement, les foncteurs furent introduits en topologie algébrique, associant aux espaces topologiques et aux applications continues des objets algébriques tels que les groupes d'homotopie et les morphismes de groupes, permettant ainsi un véritable calcul d'invariants caractérisant ces espaces.

Ensemble simplicial

En mathématiques, un ensemble simplicial X est un objet de nature combinatoire intervenant en topologie. Il est la donnée : d'une famille (X) d'ensembles, indexée par les entiers naturels, les éléments de X étant pensés comme des simplexes de dimension n et pour toute application croissanted'une application le tout tel que Autrement dit : X est un foncteur contravariant, de la catégorie simpliciale Δ dans la catégorie Set des ensembles, ou encore un foncteur covariant de la catégorie opposée Δ dans Set.

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Séances de cours associées (64)

Objets simples et cosimpliciels : exemples et applications

Couvre les objets simpliciaux et cosimpliciaux en théorie des catégories avec des exemples pratiques.

Limites et limites dans les catégories Functor

Explore les limites et les limites dans les catégories de functeurs, en mettant l'accent sur les égaliseurs, les retraits et leur importance dans la théorie des catégories.

Adjonction entre les ensembles simpliciaux et les catégories enrichies

Couvre l'adjonction entre les ensembles simpliciaux et les catégories enrichies en simpliciation, y compris la préservation des inclusions et la construction des catégories homotopiques.

Limites et limites en haut

Couvre les concepts de limites et de colimits dans la catégorie des espaces topologiques, en mettant l'accent sur la relation entre la colimit et les constructions limites et les adjonctions.

Introduction aux ensembles simpliciaux : Ensembles simpliciaux

Présente la catégorie des ensembles simpliciaux et explore le standard n-simplex comme exemple universel.

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Limite (théorie des catégories)

Coequalizer

Catégorie de foncteurs

Foncteur

Ensemble simplicial

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