Dérivée partielleEn mathématiques, la dérivée partielle d'une fonction de plusieurs variables est sa dérivée par rapport à l'une de ses variables, les autres étant gardées constantes. C'est une notion de base de l'analyse en dimension , de la géométrie différentielle et de l'analyse vectorielle. La dérivée partielle de la fonction par rapport à la variable est souvent notée . Si est une fonction de et sont les accroissements infinitésimaux de respectivement, alors l'accroissement infinitésimal correspondant de est : Cette expression est la « différentielle totale » de , chaque terme dans la somme étant une « différentielle partielle » de .
DérivéeEn mathématiques, la dérivée d'une fonction d'une variable réelle mesure l'ampleur du changement de la valeur de la fonction (valeur de sortie) par rapport à un petit changement de son argument (valeur d'entrée). Les calculs de dérivées sont un outil fondamental du calcul infinitésimal. Par exemple, la dérivée de la position d'un objet en mouvement par rapport au temps est la vitesse (instantanée) de l'objet. La dérivée d'une fonction est une fonction qui, à tout nombre pour lequel admet un nombre dérivé, associe ce nombre dérivé.
Generalizations of the derivativeIn mathematics, the derivative is a fundamental construction of differential calculus and admits many possible generalizations within the fields of mathematical analysis, combinatorics, algebra, geometry, etc. The Fréchet derivative defines the derivative for general normed vector spaces . Briefly, a function , an open subset of , is called Fréchet differentiable at if there exists a bounded linear operator such that Functions are defined as being differentiable in some open neighbourhood of , rather than at individual points, as not doing so tends to lead to many pathological counterexamples.
Dérivée secondeLa dérivée seconde est la dérivée de la dérivée d'une fonction, lorsqu'elle est définie. Elle permet de mesurer l'évolution des taux de variations. Par exemple, la dérivée seconde du déplacement par rapport au temps est la variation de la vitesse (taux de variation du déplacement), soit l'accélération. Si la fonction admet une dérivée seconde, on dit qu'elle est de classe D2 ; si de plus cette dérivée seconde est continue, la fonction est dite de classe C2.
Dérivée totaleEn analyse, la dérivée totale d'une fonction est une généralisation du nombre dérivé pour les fonctions à plusieurs variables. Cette notion est utilisée dans divers domaines de la physique et tout particulièrement en mécanique des milieux continus et en mécanique des fluides dans lesquels les grandeurs dépendent à la fois du temps et de la position. Soit une fonction à plusieurs variables et , , fonctions de .
Théorème de SchwarzLe théorème de Schwarz, de Clairaut ou de Young est un théorème d'analyse portant sur les dérivées partielles secondes d'une fonction de plusieurs variables. Il apparaît pour la première fois dans un cours de calcul différentiel donné par Weierstrass en 1861 auquel assistait alors Hermann Schwarz à Berlin. La symétrie de la hessienne signifie que le résultat d'une dérivation partielle à l'ordre 2 par rapport à deux variables ne dépend pas de l'ordre dans lequel se fait la dérivation par rapport à ces deux variables : Ce théorème est parfois appelé par les anglophones (théorème de Young), nom qui désigne également une extension aux dérivées d'ordre supérieur.
Fonction de plusieurs variablesEn mathématiques et plus spécialement en analyse vectorielle, une fonction numérique à plusieurs variables réelles est une fonction dont l'ensemble de départ E est une partie du produit cartésien . L'ensemble d'arrivée F peut être ou . Le second cas peut se ramener au premier cas en considérant qu'il s'agit en réalité de p fonctions de dans appelées fonctions coordonnées. La fonction est donc une relation associant à chaque n-uplet x = (x, x, ...
DérivabilitéUne fonction réelle d'une variable réelle est dérivable en un point a quand elle admet une dérivée finie en a, c'est-à-dire, intuitivement, quand elle peut être approchée de manière assez fine par une fonction affine au voisinage de a. Elle est dérivable sur un intervalle réel ouvert non vide si elle est dérivable en chaque point de cet intervalle. Elle est dérivable sur un intervalle réel fermé et borné (c'est-à-dire sur un segment réel) non réduit à un point si elle est dérivable sur l'intérieur de cet intervalle et dérivable à droite en sa borne gauche, et dérivable à gauche en sa borne droite.
Function of a real variableIn mathematical analysis, and applications in geometry, applied mathematics, engineering, and natural sciences, a function of a real variable is a function whose domain is the real numbers , or a subset of that contains an interval of positive length. Most real functions that are considered and studied are differentiable in some interval. The most widely considered such functions are the real functions, which are the real-valued functions of a real variable, that is, the functions of a real variable whose codomain is the set of real numbers.
Wirtinger derivativesIn complex analysis of one and several complex variables, Wirtinger derivatives (sometimes also called Wirtinger operators), named after Wilhelm Wirtinger who introduced them in 1927 in the course of his studies on the theory of functions of several complex variables, are partial differential operators of the first order which behave in a very similar manner to the ordinary derivatives with respect to one real variable, when applied to holomorphic functions, antiholomorphic functions or simply differentiabl
Semi-differentiabilityIn calculus, a branch of mathematics, the notions of one-sided differentiability and semi-differentiability of a real-valued function f of a real variable are weaker than differentiability. Specifically, the function f is said to be right differentiable at a point a if, roughly speaking, a derivative can be defined as the function's argument x moves to a from the right, and left differentiable at a if the derivative can be defined as x moves to a from the left.
Fonction convexevignette|upright=1.5|droite|Fonction convexe. En mathématiques, une fonction réelle d'une variable réelle est dite convexe : si quels que soient deux points et du graphe de la fonction, le segment est entièrement situé au-dessus du graphe, c’est-à-dire que la courbe représentative de la fonction se situe toujours en dessous de ses cordes ; ou si l'épigraphe de la fonction (l'ensemble des points qui sont au-dessus de son graphe) est un ensemble convexe ; ou si vu d'en dessous, le graphe de la fonction est en bosse.
Fonction de plusieurs variables complexesLa théorie des fonctions de plusieurs variables complexes est une branche des mathématiques traitant des fonctions à variables complexes. On définit de cette manière une fonction de Cn dans C, dont on peut noter les variables . L'analyse complexe correspond au cas . H. Cartan: Théorie élémentaire des fonctions analytiques d'une ou plusieurs variables complexes. Hermann, Paris, 1961. C. Laurent-Thiébaut : Théorie des fonctions holomorphes de plusieurs variables. EDP Sciences, 1997. V.S.
Équation aux dérivées partiellesEn mathématiques, plus précisément en calcul différentiel, une équation aux dérivées partielles (parfois appelée équation différentielle partielle et abrégée en EDP) est une équation différentielle dont les solutions sont les fonctions inconnues dépendant de plusieurs variables vérifiant certaines conditions concernant leurs dérivées partielles. Une EDP a souvent de très nombreuses solutions, les conditions étant moins strictes que dans le cas d'une équation différentielle ordinaire à une seule variable ; les problèmes comportent souvent des conditions aux limites qui restreignent l'ensemble des solutions.
Differentiation rulesThis is a summary of differentiation rules, that is, rules for computing the derivative of a function in calculus. Unless otherwise stated, all functions are functions of real numbers (R) that return real values; although more generally, the formulae below apply wherever they are well defined — including the case of complex numbers (C). For any value of , where , if is the constant function given by , then . Let and . By the definition of the derivative, This shows that the derivative of any constant function is 0.
Variété différentielleEn mathématiques, les variétés différentielles ou variétés différentiables sont les objets de base de la topologie différentielle et de la géométrie différentielle. Il s'agit de variétés, « espaces courbes » localement modelés sur l'espace euclidien de dimension n, sur lesquelles il est possible de généraliser une bonne part des opérations du calcul différentiel et intégral. Une variété différentielle se définit donc d'abord par la donnée d'une variété topologique, espace topologique localement homéomorphe à l'espace R.
Décomposition en éléments simplesEn mathématiques, la décomposition en éléments simples d'une fraction rationnelle (parfois appelée décomposition en fractions partielles) est son expression comme somme d'un polynôme et de fractions J/H où H est un polynôme irréductible et J un polynôme de degré strictement inférieur à celui de H. Cette décomposition est utilisée dans le calcul intégral pour faciliter la recherche des primitives de la fonction rationnelle associée. Elle est aussi utilisée pour calculer des transformées de Laplace inverses.
Approximation affineEn mathématiques, une approximation affine est une approximation d'une fonction au voisinage d'un point à l'aide d'une fonction affine. Une approximation affine sert principalement à simplifier un problème dont on peut obtenir une solution approchée. Deux façons classiques d'obtenir une approximation affine de fonction passent par l'interpolation ou le développement limité à l’ordre 1.
Graphe d'une fonctionthumb|Représentation du graphe de la fonction . Le graphe d'une fonction f de E dans F est le sous-ensemble G de E×F formé par les couples d'éléments liés par la correspondance : Cet ensemble est appelé le graphe de f parce qu'il permet d'en donner une représentation graphique dans le cas usuel où E et F sont des ensembles de réels : en effet, on peut alors parfois représenter E et F sur deux axes sécants, chaque couple de G peut alors être représenté par un point dans le plan, muni d'un repère défini par les deux axes.
Fréchet derivativeIn mathematics, the Fréchet derivative is a derivative defined on normed spaces. Named after Maurice Fréchet, it is commonly used to generalize the derivative of a real-valued function of a single real variable to the case of a vector-valued function of multiple real variables, and to define the functional derivative used widely in the calculus of variations. Generally, it extends the idea of the derivative from real-valued functions of one real variable to functions on normed spaces.
