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Dynamique des espaces homogènes et interactions avec la théorie des nombres

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Description

Cette séance de cours explore la conjecture d'Oppenheim sur des formes quadratiques indéfinies et non dégénérées en 123 variables, leur relation à la théorie des nombres et la reformulation de la conjecture par Bourgain. Il traite également de la propriété cible rétrécissante et de ses applications dans le contexte de groupes semi-simples.

Source officielle

Proximité ontologique

Mathématiques

Algèbre: Algèbre linéaire

Concepts associés (32)

Forme binaire

En musique classique, la forme binaire est une structure musicale particulière de l'œuvre musicale composée de deux sections — A et B — exécutées deux fois chacune, soit : AABB. Sur une partition, la forme binaire est le plus souvent notée au moyen de barres de reprise. La section A s'achève habituellement dans une tonalité voisine — très souvent, la tonalité de la dominante. La section B au contraire, commence par cette tonalité voisine, et, après un nombre variable de modulations, s'achève sur la tonalité de départ.

Irrationnel quadratique

Un irrationnel quadratique est un nombre irrationnel solution d'une équation quadratique à coefficients rationnels, autrement dit, un nombre réel algébrique de degré 2. Il engendre donc un corps quadratique réel Q(), où d est un entier positif sans facteur carré. Les irrationnels quadratiques sont caractérisés par la périodicité à partir d'un certain rang de leur développement en fraction continue (théorème de Lagrange). Les exemples les plus simples d'irrationnels quadratiques sont les racines carrées d'entiers naturels non carrés (le plus célèbre étant ).

Nombre irrationnel

Un nombre irrationnel est un nombre réel qui n'est pas rationnel, c'est-à-dire qu'il ne peut pas s'écrire sous la forme d'une fraction a/b, où a et b sont deux entiers relatifs (avec b non nul). Les nombres irrationnels peuvent être caractérisés de manière équivalente comme étant les nombres réels dont le développement décimal n'est pas périodique ou dont le développement en fraction continue est infini. On distingue, parmi les nombres irrationnels, deux sous-ensembles complémentaires : les nombres algébriques non rationnels et les nombres transcendants.

Homogeneous relation

In mathematics, a homogeneous relation (also called endorelation) on a set X is a binary relation between X and itself, i.e. it is a subset of the Cartesian product X × X. This is commonly phrased as "a relation on X" or "a (binary) relation over X". An example of a homogeneous relation is the relation of kinship, where the relation is between people. Common types of endorelations include orders, graphs, and equivalences. Specialized studies of order theory and graph theory have developed understanding of endorelations.

Preuve de l'irrationalité de π

Dans les années 1760, Johann Heinrich Lambert a été le premier à prouver que le nombre est irrationnel, c'est-à-dire qu'il ne peut pas s'écrire sous forme d'une fraction a/b, avec a et b entiers non nuls. Au , Charles Hermite établit une preuve ne reposant sur aucun prérequis au-delà de l'analyse élémentaire. Des versions simplifiées de la preuve de Hermite ont été plus tard trouvées par Mary Cartwright et Ivan Niven. Une autre preuve, une version simplifiée de celle de Lambert, est trouvée par Miklós Laczkovich.

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Séances de cours associées (64)

Formes quadratiques et formes bilinéaires symétriques

Explore les formes quadratiques, les formes bilinéaires symétriques et leurs propriétés.

Espaces pseudo-euclides : Isomestries et bases

Explore les espaces pseudo-euclides, mettant l'accent sur les isometries et les bases dans les espaces vectoriels avec des formes quadratiques non dégénérées.

Formes différentielles sur les collecteurs

Introduit des formes différentielles sur les collecteurs, couvrant les faisceaux tangents et les appariements d'intersection.

Formes harmoniques : théorème principal

Explore les formes harmoniques sur les surfaces de Riemann et l'unicité des solutions aux équations harmoniques.

Topologie d'Adeles

Couvre la topologie d'Adèles et leur relation avec les formes quadratiques, les variétés polynomiales et les propriétés de finitude.

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Concepts associés (32)

Forme binaire

Irrationnel quadratique

Nombre irrationnel

Homogeneous relation

Preuve de l'irrationalité de π

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