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Séance de cours

Inégalité isopérimétrique : transport optimal

Dans cours

MATH-476: Optimal transport

The first part is devoted to Monge and Kantorovitch problems, discussing the existence and the properties of the optimal plan. The second part introduces the Wasserstein distance on measures and develops applications of optimal transport to PDEs, functiona ...

Description

Cette séance de cours se concentre sur l'inégalité isopérimétrique et son application surprenante dans le transport optimal. L'instructeur explique comment le théorème de Brignier est utilisé pour prouver l'inégalité, montrant que le périmètre d'un ensemble est supérieur ou égal au périmètre d'une balle avec le même volume. La séance de cours explore les propriétés de la carte de transport optimale, la convexité des fonctions et l'unicité des optimiseurs. L'instructeur discute également des cas de qualité, où des ensembles autres qu'une balle minimisent le périmètre à une zone donnée. La séance de cours se termine par une discussion sur le déficit d'un ensemble et d'un théorème raffiné par Alessio Figalli. Les concepts sont illustrés par des exemples et des preuves, fournissant un aperçu des implications géométriques de l'inégalité isopérimétrique.

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Enseignant·e·s (2)

Maria Colombo

Xavier Fernandez-Real Girona

Source officielle

Concepts associés (22)

Fonction quasi-convexe

En mathématiques, une fonction quasi-convexe est une fonction à valeurs réelles, définie sur un ensemble convexe d'un espace vectoriel réel, telle que l' de tout ensemble de la forme est convexe ou encore telle que, sur tout segment, la plus grande valeur de la fonction est atteinte à l'une des extrémités. L'opposée d'une fonction quasi-convexe est dite quasi-concave. Toute fonction convexe est quasi-convexe mais la réciproque est fausse : par exemple, toute fonction monotone sur un intervalle réel est quasi-linéaire, c'est-à-dire à la fois quasi-convexe et quasi-concave.

Fonction convexe

vignette|upright=1.5|droite|Fonction convexe. En mathématiques, une fonction réelle d'une variable réelle est dite convexe : si quels que soient deux points et du graphe de la fonction, le segment est entièrement situé au-dessus du graphe, c’est-à-dire que la courbe représentative de la fonction se situe toujours en dessous de ses cordes ; ou si l'épigraphe de la fonction (l'ensemble des points qui sont au-dessus de son graphe) est un ensemble convexe ; ou si vu d'en dessous, le graphe de la fonction est en bosse.

Ensemble convexe

Un objet géométrique est dit convexe lorsque, chaque fois qu'on y prend deux points et , le segment qui les joint y est entièrement contenu. Ainsi un cube plein, un disque ou une boule sont convexes, mais un objet creux ou bosselé ne l'est pas. On suppose travailler dans un contexte où le segment reliant deux points quelconques et a un sens (par exemple dans un espace affine sur R — en particulier dans un espace affine sur C — ou dans un ).

Mesure de probabilité

vignette|300x300px| Dans de nombreux cas, la physique statistique utilise des mesures de probabilité, mais toutes les mesures qu'elle utilise ne sont pas des mesures de probabilité. En mathématiques, une mesure de probabilité est une fonction à valeurs réelles définie sur un ensemble d'événements dans un espace de probabilité qui satisfait les propriétés de mesure telles que la -additivité. La différence entre une mesure de probabilité et la notion plus générale de mesure (qui inclut des concepts tels que l'aire ou le volume) est qu'une mesure de probabilité doit attribuer la valeur 1 à tout l'espace de probabilité.

Optimisation convexe

vignette|320x320px|Optimisation convexe dans un espace en deux dimensions dans un espace contraint L'optimisation convexe est une sous-discipline de l'optimisation mathématique, dans laquelle le critère à minimiser est convexe et l'ensemble admissible est convexe. Ces problèmes sont plus simples à analyser et à résoudre que les problèmes d'optimisation non convexes, bien qu'ils puissent être NP-difficile (c'est le cas de l'optimisation copositive). La théorie permettant d'analyser ces problèmes ne requiert pas la différentiabilité des fonctions.

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Séances de cours associées (34)

Introduction à la convexité

Présente les concepts clés de la convexité et ses applications dans différents domaines.

Techniques d'optimisation : Convexity in Machine Learning

Couvre les techniques d'optimisation dans l'apprentissage automatique, en se concentrant sur la convexité et ses implications pour une résolution efficace des problèmes.

Descente proximale et sous-gradiente : techniques d’optimisation

Discute des méthodes de descente proximale et sous-gradiente pour l'optimisation dans l'apprentissage automatique.

Mathématiques des données: Optimisation des bases

Couvre les bases de l'optimisation, y compris les normes, la continuité Lipschitz, et les concepts de convexité.

Ensembles et fonctions convexes

Introduit des ensembles et des fonctions convexes, en discutant des minimiseurs, des conditions d'optimalité et des caractérisations, ainsi que des exemples et des inégalités clés.

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Concepts associés (22)

Fonction quasi-convexe

Fonction convexe

Ensemble convexe

Mesure de probabilité

Optimisation convexe

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