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Séance de cours

Algèbre linéaire: Théorèmes de décomposition

Dans cours

MATH-115(b): Algèbre linéaire avancée II

L'objectif du cours est d'introduire les notions de base de l'algèbre linéaire et de démontrer rigoureusement les résultats principaux du sujet. ...

Description

Cette séance de cours couvre la preuve du théorème de décomposition primaire pour les endomorphismes des espaces vectoriels à dimensions finies, montrant les propriétés des sous-espaces invariants et des endomorphismes nilpotents. Il explique également le polynôme spectral et le concept de vecteurs indigènes généralisés.

Enseignant·e

Marc Troyanov

Doctorat en mathématiques à l'Université de Genève (1987) - Postdoc à Paris et Salt-Lake City, puis professeur assistant à l'UQAM (Montréal). Venu en 1993 à l'EPFL comme professeur assistant, nommé MER en 1999 puis professeur titulaire en 2005. Domaine de recherche : géométrie différentielle, analyse sur les variétés et sur les espaces métriques.

Source officielle

Proximité ontologique

Mathématiques

Algèbre: Algèbre linéaire

Concepts associés (32)

Valeur propre, vecteur propre et espace propre

En mathématiques, et plus particulièrement en algèbre linéaire, le concept de vecteur propre est une notion algébrique s'appliquant à une application linéaire d'un espace dans lui-même. Il correspond à l'étude des axes privilégiés, selon lesquels l'application se comporte comme une dilatation, multipliant les vecteurs par une même constante. Ce rapport de dilatation est appelé valeur propre, les vecteurs auxquels il s'applique s'appellent vecteurs propres, réunis en un espace propre.

Linéaire A

Le « linéaire A » est une écriture, encore non décryptée, qui fut utilisée dans la Crète ancienne. Cette écriture était composée d'environ quatre-vingt-dix signes et idéogrammes. On suppose qu'il transcrit la langue des Minoens. C'est Arthur Evans au début du qui découvrit en Crète les vestiges de cette écriture, ainsi que d'autres écritures anciennes. Il les nomma « hiéroglyphes crétois », « linéaire A » et « linéaire B », selon leur apparence et leur ancienneté.

Generalized eigenvector

In linear algebra, a generalized eigenvector of an matrix is a vector which satisfies certain criteria which are more relaxed than those for an (ordinary) eigenvector. Let be an -dimensional vector space and let be the matrix representation of a linear map from to with respect to some ordered basis. There may not always exist a full set of linearly independent eigenvectors of that form a complete basis for . That is, the matrix may not be diagonalizable.

Théorème spectral

En mathématiques, et plus particulièrement en algèbre linéaire et en analyse fonctionnelle, on désigne par théorème spectral plusieurs énoncés affirmant, pour certains endomorphismes, l'existence de décompositions privilégiées, utilisant en particulier l'existence de sous-espaces propres. vignette|Une illustration du théorème spectral dans le cas fini : un ellipsoïde possède (en général) trois axes de symétrie orthogonaux (notés ici x, y et z).

Décomposition d'une matrice en éléments propres

En algèbre linéaire, la décomposition d'une matrice en éléments propres est la factorisation de la matrice en une forme canonique où les coefficients matriciels sont obtenus à partir des valeurs propres et des vecteurs propres. Un vecteur non nul v à N lignes est un vecteur propre d'une matrice carrée A à N lignes et N colonnes si et seulement si il existe un scalaire λ tel que : où λ est appelé valeur propre associée à v. Cette dernière équation est appelée « équation aux valeurs propres ».

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Séances de cours associées (39)

Valeurs propres et vecteurs propres

Couvre le concept de valeurs propres et de vecteurs propres dans l'algèbre linéaire, en mettant l'accent sur les propriétés des endomorphismes.

Sous-espaces, spectres et projections

Explore les sous-espaces, les spectres et les projections en algèbre linéaire, y compris les matrices symétriques et les projections orthogonales.

Valeurs propres et vecteurs propres en 3D

Explore les valeurs propres et les vecteurs propres dans l'algèbre linéaire 3D, couvrant les polynômes caractéristiques, la stabilité sous les transformations, et les racines réelles.

Algèbre linéaire: base canonique

Explore la base canonique en algèbre linéaire, en se concentrant sur la représentation matricielle, la diagonalisation et les polynômes caractéristiques.

Algèbre linéaire: valeurs propres et vecteurs propres

Explore les valeurs propres, les vecteurs propres, la diagonalisation et le théorème spectral dans l'algèbre linéaire.

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