Notation for differentiationIn differential calculus, there is no single uniform notation for differentiation. Instead, various notations for the derivative of a function or variable have been proposed by various mathematicians. The usefulness of each notation varies with the context, and it is sometimes advantageous to use more than one notation in a given context. The most common notations for differentiation (and its opposite operation, the antidifferentiation or indefinite integration) are listed below.
Analyse vectorielleL'analyse vectorielle est une branche des mathématiques qui étudie les champs de scalaires et de vecteurs suffisamment réguliers des espaces euclidiens, c'est-à-dire les applications différentiables d'un ouvert d'un espace euclidien à valeurs respectivement dans et dans . Du point de vue du mathématicien, l'analyse vectorielle est donc une branche de la géométrie différentielle. Cette dernière inclut l'analyse tensorielle qui apporte des outils plus puissants et une analyse plus concise entre autres des champs de vecteurs.
Gradientvignette|Chaque champ scalaire est représenté par un dégradé (blanc = valeur basse, noir = valeur haute). Chaque gradient est un champ vectoriel, représenté par des flèches bleues ; chacune pointe dans la direction où le champ scalaire croît le plus vite. vignette|La fonction à deux variables f(x, y) = xe−(x2 + y2) correspond à la température (bleu = valeur basse = froid, rouge = valeur haute = chaud). Le gradient de f est un champ vectoriel, représenté par les flèches bleues ; chacune pointe dans la direction où la température croît le plus vite.
Dérivation automatiqueEn mathématique et en calcul formel, la dérivation automatique (DA), également appelé dérivation algorithmique, dérivation formelle, ou auto-dérivation est un ensemble de techniques d'évaluation de la dérivée d'une fonction par un programme informatique. La dérivation automatique exploite le fait que chaque programme informatique, aussi compliqué soit-il, exécute une séquence d'opérations arithmétiques élémentaires (addition, soustraction, multiplication, division, etc.) et des fonctions élémentaires (exp, log,sin, cos, etc.
Champ de vecteursthumb|Un exemple de champ de vecteurs, de la forme (-y,x). thumb|Autre exemple. thumb|Le flux d'air autour d'un avion est un champ tridimensionnel (champ des vitesses des particules d'air), ici visualisé par les bulles qui matérialisent les lignes de courant. En mathématiques, un champ de vecteurs ou champ vectoriel est une fonction qui associe un vecteur à chaque point d'un espace euclidien ou plus généralement d'une variété différentielle.
Matrice (mathématiques)thumb|upright=1.5 En mathématiques, les matrices sont des tableaux d'éléments (nombres, caractères) qui servent à interpréter en termes calculatoires, et donc opérationnels, les résultats théoriques de l'algèbre linéaire et même de l'algèbre bilinéaire. Toutes les disciplines étudiant des phénomènes linéaires utilisent les matrices. Quant aux phénomènes non linéaires, on en donne souvent des approximations linéaires, comme en optique géométrique avec les approximations de Gauss.
Identités vectoriellesDans cet article, on note pour le produit vectoriel et · pour le produit scalaire. Les identités suivantes peuvent être utiles en analyse vectorielle. (Identité de Binet-Cauchy) Dans cette section, a, b, c et d représentent des vecteurs quelconques de . Dans cet article, les conventions suivantes sont utilisées; à noter que la position (levée ou abaissée) des indices n'a pas, ici, beaucoup d'importance étant donné que l'on travaille dans un contexte euclidien.
Matrice symétriquevignette|Matrice 5x5 symétrique. Les coefficients égaux sont représentés par la même couleur. En algèbre linéaire et multilinéaire, une matrice symétrique est une matrice carrée qui est égale à sa propre transposée, c'est-à-dire telle que a = a pour tous i et j compris entre 1 et n, où les a sont les coefficients de la matrice et n est son ordre. Les coefficients d'une matrice symétrique sont symétriques par rapport à la diagonale principale (du coin en haut à gauche jusqu'à celui en bas à droite).
Fonction à valeurs vectoriellesEn mathématiques, une fonction à valeurs vectorielles ou fonction vectorielle est une fonction dont l'espace d'arrivée est un ensemble de vecteurs, son ensemble de définition pouvant être un ensemble de scalaires ou de vecteurs. Courbe paramétrée Un exemple classique de fonctions vectorielles est celui des courbes paramétrées, c'est-à-dire des fonctions d'une variable réelle (représentant par exemple le temps dans les applications en mécanique du point) à valeurs dans un espace euclidien, par exemple le plan usuel (on parle alors de courbes planes) ou l'espace usuel (on parle alors de courbes gauches).
Definite matrixIn mathematics, a symmetric matrix with real entries is positive-definite if the real number is positive for every nonzero real column vector where is the transpose of . More generally, a Hermitian matrix (that is, a complex matrix equal to its conjugate transpose) is positive-definite if the real number is positive for every nonzero complex column vector where denotes the conjugate transpose of Positive semi-definite matrices are defined similarly, except that the scalars and are required to be positive or zero (that is, nonnegative).
Méthode du gradient conjuguévignette|Illustration de la méthode du gradient conjugué. En analyse numérique, la méthode du gradient conjugué est un algorithme pour résoudre des systèmes d'équations linéaires dont la matrice est symétrique définie positive. Cette méthode, imaginée en 1950 simultanément par Cornelius Lanczos, Eduard Stiefel et Magnus Hestenes, est une méthode itérative qui converge en un nombre fini d'itérations (au plus égal à la dimension du système linéaire).
Logarithmic differentiationIn calculus, logarithmic differentiation or differentiation by taking logarithms is a method used to differentiate functions by employing the logarithmic derivative of a function f, The technique is often performed in cases where it is easier to differentiate the logarithm of a function rather than the function itself. This usually occurs in cases where the function of interest is composed of a product of a number of parts, so that a logarithmic transformation will turn it into a sum of separate parts (which is much easier to differentiate).
Méthode itérativeEn analyse numérique, une méthode itérative est un procédé algorithmique utilisé pour résoudre un problème, par exemple la recherche d’une solution d’un système d'équations ou d’un problème d’optimisation. En débutant par le choix d’un point initial considéré comme une première ébauche de solution, la méthode procède par itérations au cours desquelles elle détermine une succession de solutions approximatives raffinées qui se rapprochent graduellement de la solution cherchée. Les points générés sont appelés des itérés.
Champ conservatifUn champ de vecteurs est dit à circulation conservative (ou irrotationnel) si sa circulation sur toute courbe fermée est nulle (son rotationnel est alors nul, et réciproquement). Sous certaines conditions relatives au domaine de définition et à la régularité du champ, on peut dériver le potentiel de ce champ, fonction scalaire qui en permet une représentation alternative. De même, un champ de vecteurs est dit à flux conservatif si son flux sur toute surface fermée est nul (sa divergence est alors nulle, et réciproquement).
ApprentissageL’apprentissage est un ensemble de mécanismes menant à l'acquisition de savoir-faire, de savoirs ou de connaissances. L'acteur de l'apprentissage est appelé apprenant. On peut opposer l'apprentissage à l'enseignement dont le but est de dispenser des connaissances et savoirs, l'acteur de l'enseignement étant l'enseignant.
Algorithme du gradientLalgorithme du gradient, aussi appelé algorithme de descente de gradient, désigne un algorithme d'optimisation différentiable. Il est par conséquent destiné à minimiser une fonction réelle différentiable définie sur un espace euclidien (par exemple, , l'espace des n-uplets de nombres réels, muni d'un produit scalaire) ou, plus généralement, sur un espace hilbertien. L'algorithme est itératif et procède donc par améliorations successives. Au point courant, un déplacement est effectué dans la direction opposée au gradient, de manière à faire décroître la fonction.
Vectorization (mathematics)In mathematics, especially in linear algebra and matrix theory, the vectorization of a matrix is a linear transformation which converts the matrix into a vector. Specifically, the vectorization of a m × n matrix A, denoted vec(A), is the mn × 1 column vector obtained by stacking the columns of the matrix A on top of one another: Here, represents the element in the i-th row and j-th column of A, and the superscript denotes the transpose. Vectorization expresses, through coordinates, the isomorphism between these (i.
Inférence (logique)L’inférence est un mouvement de la pensée qui permet de passer d'une ou plusieurs assertions, des énoncés ou propositions affirmés comme vrais, appelés prémisses, à une nouvelle assertion qui en est la conclusion. Étymologiquement, le mot inférence signifie « reporter ». En théorie, l'inférence est traditionnellement divisée en déduction et induction, une distinction qui, en Europe, remonte au moins à Aristote ( avant Jésus-Christ). On distingue les inférences immédiates des inférences médiates telles que déductives, inductives et abductives.
Inférence statistiquevignette|Illustration des 4 principales étapes de l'inférence statistique L'inférence statistique est l'ensemble des techniques permettant d'induire les caractéristiques d'un groupe général (la population) à partir de celles d'un groupe particulier (l'échantillon), en fournissant une mesure de la certitude de la prédiction : la probabilité d'erreur. Strictement, l'inférence s'applique à l'ensemble des membres (pris comme un tout) de la population représentée par l'échantillon, et non pas à tel ou tel membre particulier de cette population.
Fonction convexevignette|upright=1.5|droite|Fonction convexe. En mathématiques, une fonction réelle d'une variable réelle est dite convexe : si quels que soient deux points et du graphe de la fonction, le segment est entièrement situé au-dessus du graphe, c’est-à-dire que la courbe représentative de la fonction se situe toujours en dessous de ses cordes ; ou si l'épigraphe de la fonction (l'ensemble des points qui sont au-dessus de son graphe) est un ensemble convexe ; ou si vu d'en dessous, le graphe de la fonction est en bosse.
