Topologievignette|Déformation continue d'une tasse avec une anse, en un tore (bouée). thumb|Un ruban de Möbius est une surface fermée dont le bord se réduit à un cercle. De tels objets sont des sujets étudiés par la topologie. La topologie est la branche des mathématiques qui étudie les propriétés d'objets géométriques préservées par déformation continue sans arrachage ni recollement, comme un élastique que l’on peut tendre sans le rompre.
Espace pointéEn topologie, un espace pointé est un espace topologique dont on spécifie un point particulier comme étant le point de base. Formellement, il s'agit donc d'un couple (E, x) pour lequel x est un élément de E. Une application pointée entre deux espaces pointés est une application continue préservant les points de base. Les espaces pointés sont les objets d'une catégorie, notée parfois Top, dont les morphismes sont les applications pointées. Cette catégorie admet le point comme objet nul.
General topologyIn mathematics, general topology (or point set topology) is the branch of topology that deals with the basic set-theoretic definitions and constructions used in topology. It is the foundation of most other branches of topology, including differential topology, geometric topology, and algebraic topology. The fundamental concepts in point-set topology are continuity, compactness, and connectedness: Continuous functions, intuitively, take nearby points to nearby points.
Topologie finaleEn mathématiques et plus précisément en topologie, la topologie finale, sur un ensemble d'arrivée commun à une famille d'applications définies chacune sur un espace topologique, est la topologie la plus fine pour laquelle toutes ces applications sont continues. La notion duale est celle de topologie initiale. Soient X un ensemble, (Y) une famille d'espaces topologiques et pour chaque indice i ∈ I, une application f : Y → X. La topologie finale sur X associée à la famille (f) est la plus fine des topologies sur X pour lesquelles chaque f est continue.
Topologie de l'ordreEn mathématiques, la topologie de l'ordre est une topologie naturelle définie sur tout ensemble ordonné (E, ≤), et qui dépend de la relation d'ordre ≤. Lorsque l'on définit la topologie usuelle de la droite numérique R, deux approches équivalentes sont possibles. On peut se fonder sur la relation d'ordre dans R, ou sur la valeur absolue de la distance entre deux nombres. Les égalités ci-dessous permettent de passer de l'une à l'autre : La valeur absolue se généralise en la notion de distance, qui induit le concept de topologie d'un espace métrique.
Topologie initialeEn mathématiques, plus précisément en topologie, la topologie initiale, sur un ensemble muni d'une famille d'applications à valeurs dans des espaces topologiques, est la topologie la moins fine pour laquelle toutes ces applications sont continues. Deux cas particuliers importants de topologies initiales sont la topologie induite et la topologie produit. La notion duale est celle de topologie finale. Soient X un ensemble et (fi)i∈I une famille d'applications, chacune définie sur X et à valeurs dans un espace topologique Yi.
Espace des lacetsEn mathématiques, l'espace des lacets d'un espace topologique pointé est l'ensemble des applications continues d'un segment dans cet espace, tel que l'image des deux extrémités du segment coïncide avec le point de base. Muni de la topologie compacte-ouverte, il s'agit d'un invariant homotopique. La concaténation et le renversement des lacets en font un h-groupe. L'espace des lacets d'un CW-complexe a le type d'homotopie d'un CW-complexe. L’espace des lacets est la cofibre de l’inclusion de l’espace des chemins pointés dans l’espace des chemins.
Topologie induiteEn mathématiques, la topologie induite est une topologie définie sur toute partie Y d'un espace topologique X : c'est la trace sur Y de la topologie sur X. Autrement dit, l'ensemble des ouverts de Y (muni de la topologie induite) est : {O⋂Y | O ouvert de X}. Ou encore : les voisinages dans Y d'un point sont les traces sur Y de ses voisinages dans X. On dit alors que Y est un sous-espace de X. La topologie induite est souvent sous-entendue dans les énoncés de topologie : par exemple, lorsque l'on a un espace topologique X donné, une partie Y de X sera dite compacte si elle est compacte pour la topologie induite par X sur Y.
Comparaison de topologiesEn mathématiques, l'ensemble de toutes les topologies possibles sur un ensemble donné possède une structure d'ensemble partiellement ordonné. Cette relation d'ordre permet de comparer les différentes topologies. Soient τ1 et τ2 deux topologies sur un ensemble X. On dit que τ2 est plus fine que τ1 (ou bien que τ1 est moins fine que τ2) et on note τ ⊆ τ si l'application identité idX : (X, τ2) → (X, τ1) est continue. Si de plus τ ≠ τ, on dit que τ2 est strictement plus fine que τ1 (ou bien que τ1 est strictement moins fine que τ2).
H-espaceEn mathématiques, un H-espace est une version d'une généralisation de la notion de groupe topologique, dans laquelle les axiomes d' sont supprimés. Un H-espace est constitué d'un espace topologique X, ainsi que d'un élément e de X et d'une application continue , tel que et les applications et sont toutes les deux homotopes à l'application identité relativement à e. Cet espace peut être considéré comme un espace topologique pointé avec une multiplication continue pour laquelle le point de base est un , à homotopie près préservant le point de base.
Homotopy categoryIn mathematics, the homotopy category is a built from the category of topological spaces which in a sense identifies two spaces that have the same shape. The phrase is in fact used for two different (but related) categories, as discussed below. More generally, instead of starting with the category of topological spaces, one may start with any and define its associated homotopy category, with a construction introduced by Quillen in 1967. In this way, homotopy theory can be applied to many other categories in geometry and algebra.
Groupe fondamentalEn mathématiques, et plus spécifiquement en topologie algébrique, le groupe fondamental, ou groupe de Poincaré, est un invariant topologique. Le groupe fondamental d'un espace topologique pointé (X, d) est, par définition, l'ensemble des classes d'homotopie de lacets (chemins fermés) de X de base d. C'est un groupe dont la loi de composition interne est induite par la concaténation (juxtaposition) des arcs. L'examen des groupes fondamentaux permet de prouver que deux espaces particuliers ne peuvent être homéomorphes (c'est-à-dire topologiquement équivalents).
Étale fundamental groupThe étale or algebraic fundamental group is an analogue in algebraic geometry, for schemes, of the usual fundamental group of topological spaces. In algebraic topology, the fundamental group of a pointed topological space is defined as the group of homotopy classes of loops based at . This definition works well for spaces such as real and complex manifolds, but gives undesirable results for an algebraic variety with the Zariski topology.
Topologie cofinieLa topologie cofinie est la topologie que l'on peut définir sur tout ensemble X de la manière suivante : l'ensemble des ouverts est constitué de l'ensemble vide et parties de X cofinies, c'est-à-dire dont le complémentaire dans X est fini. Formellement, si l'on note τ la topologie cofinie sur X, on a : ou plus simplement, en définissant la topologie via les fermés : les fermés de X sont X et ses parties finies. La topologie induite sur une partie Y de X est la topologie cofinie sur Y.
Domaine fondamentalGiven a topological space and a group acting on it, the images of a single point under the group action form an orbit of the action. A fundamental domain or fundamental region is a subset of the space which contains exactly one point from each of these orbits. It serves as a geometric realization for the abstract set of representatives of the orbits. There are many ways to choose a fundamental domain. Typically, a fundamental domain is required to be a connected subset with some restrictions on its boundary, for example, smooth or polyhedral.
Théorie de la démonstrationLa théorie de la démonstration, aussi connue sous le nom de théorie de la preuve (de l'anglais proof theory), est une branche de la logique mathématique. Elle a été fondée par David Hilbert au début du . Hilbert a proposé cette nouvelle discipline mathématique lors de son célèbre exposé au congrès international des mathématiciens en 1900 avec pour objectif de démontrer la cohérence des mathématiques.
Démonstration (logique et mathématiques)vignette| : un des plus vieux fragments des Éléments d'Euclide qui montre une démonstration mathématique. En mathématiques et en logique, une démonstration est un ensemble structuré d'étapes correctes de raisonnement. Dans une démonstration, chaque étape est soit un axiome (un fait acquis), soit l'application d'une règle qui permet d'affirmer qu'une proposition, la conclusion, est une conséquence logique d'une ou plusieurs autres propositions, les prémisses de la règle.
Adhésion cellulaireL'adhésion cellulaire, ou adhérence cellulaire, est l'ensemble des mécanismes cellulaires et moléculaires mis en œuvre pour faire adhérer les cellules entre elles ou avec le milieu qui les entoure. En 2012, la plupart des mécanismes moléculaires déclencheurs de l'activation et régulant le comportement des sites d'adhésion sont encore incompris. L'adhésion cellulaire est indispensable à la formation, au maintien et au fonctionnement des tissus. Au niveau de la cellule elle-même, elle régule la croissance, la migration, la prolifération et la mort de la cellule.
Membrane plasmiqueLa membrane plasmique, également appelée membrane cellulaire, membrane cytoplasmique, voire plasmalemme, est une membrane biologique séparant l'intérieur d'une cellule, appelé cytoplasme, de son environnement extérieur, c'est-à-dire du milieu extracellulaire. Cette membrane joue un rôle biologique fondamental en isolant la cellule de son environnement.
Fundamental pair of periodsIn mathematics, a fundamental pair of periods is an ordered pair of complex numbers that defines a lattice in the complex plane. This type of lattice is the underlying object with which elliptic functions and modular forms are defined. A fundamental pair of periods is a pair of complex numbers such that their ratio is not real. If considered as vectors in , the two are not collinear. The lattice generated by and is This lattice is also sometimes denoted as to make clear that it depends on and It is also sometimes denoted by or or simply by The two generators and are called the lattice basis.
