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Séance de cours

Chaînes de Markov: Applications et analyse

Dans cours

COM-516: Markov chains and algorithmic applications

The study of random walks finds many applications in computer science and communications. The goal of the course is to get familiar with the theory of random walks, and to get an overview of some applications of this theory to problems of interest in commu ...

Description

Cette séance de cours couvre le concept de chaînes de Markov et leurs applications dans la conception d'algorithmes, en se concentrant sur le problème de coloration et la chaîne Metropolis. L'instructeur explique comment échantillonner à partir de l'espace de colorations appropriées et analyse le comportement de l'algorithme. La séance de cours introduit également la notation pour les couleurs et discute du degré maximum de sommets dans le contexte des graphes de coloration.

Source officielle

Proximité ontologique

Mathématiques

Mathématiques discrètes: Théorie des graphes

Concepts associés (32)

Chaîne de Markov

vignette|Exemple élémentaire de chaîne de Markov, à deux états A et E. Les flèches indiquent les probabilités de transition d'un état à un autre. En mathématiques, une chaîne de Markov est un processus de Markov à temps discret, ou à temps continu et à espace d'états discret. Un processus de Markov est un processus stochastique possédant la propriété de Markov : l'information utile pour la prédiction du futur est entièrement contenue dans l'état présent du processus et n'est pas dépendante des états antérieurs (le système n'a pas de « mémoire »).

Coloration de graphe

thumb|Une coloration du graphe de Petersen avec 3 couleurs. En théorie des graphes, la coloration de graphe consiste à attribuer une couleur à chacun de ses sommets de manière que deux sommets reliés par une arête soient de couleur différente. On cherche souvent à utiliser le nombre minimal de couleurs, appelé nombre chromatique. La coloration fractionnaire consiste à chercher non plus une mais plusieurs couleurs par sommet et en associant des coûts à chacune.

Méthode de Monte-Carlo par chaînes de Markov

Les méthodes de Monte-Carlo par chaînes de Markov, ou méthodes MCMC pour Markov chain Monte Carlo en anglais, sont une classe de méthodes d'échantillonnage à partir de distributions de probabilité. Ces méthodes de Monte-Carlo se basent sur le parcours de chaînes de Markov qui ont pour lois stationnaires les distributions à échantillonner. Certaines méthodes utilisent des marches aléatoires sur les chaînes de Markov (algorithme de Metropolis-Hastings, échantillonnage de Gibbs), alors que d'autres algorithmes, plus complexes, introduisent des contraintes sur les parcours pour essayer d'accélérer la convergence (Monte Carlo Hybride, Surrelaxation successive).

Coloration des arêtes d'un graphe

thumb|Coloration des arêtes du graphe de Desargues avec trois couleurs. En théorie des graphes et en algorithmique, une coloration des arêtes d'un graphe consiste à attribuer à chaque arête une couleur, en évitant que deux arêtes ayant une extrémité commune soient de la même couleur. La figure ci-contre est un exemple de coloration d'arêtes correcte. On vérifie en effet qu'aucun sommet n'est commun à deux arêtes de même couleur. On remarquera qu'ici, il n'aurait pas été possible de colorer les arêtes du graphe avec seulement deux couleurs.

Théorie des graphes

vignette|Un tracé de graphe. La théorie des graphes est la discipline mathématique et informatique qui étudie les graphes, lesquels sont des modèles abstraits de dessins de réseaux reliant des objets. Ces modèles sont constitués par la donnée de sommets (aussi appelés nœuds ou points, en référence aux polyèdres), et d'arêtes (aussi appelées liens ou lignes) entre ces sommets ; ces arêtes sont parfois non symétriques (les graphes sont alors dits orientés) et sont alors appelées des flèches ou des arcs.

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Couvre les bases des chaînes de Markov et leurs applications algorithmiques.

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Couvre les fondamentaux des chaînes de Markov et de leurs applications dans les algorithmes, en se concentrant sur la coloration correcte et l'algorithme Metropolis.

Propagation de la croyance

Explore la propagation de la croyance dans les modèles graphiques, les graphiques de facteurs, les exemples de verre de spin, les distributions de Boltzmann et les propriétés de coloration des graphiques.

Coloration graphique: aléatoire vs symétrique

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