Fonction de MöbiusEn mathématiques, la fonction de Möbius désigne généralement une fonction multiplicative particulière, définie sur les entiers strictement positifs et à valeurs dans l'ensemble {–1, 0, 1}. Elle intervient dans la formule d'inversion de Möbius. Elle est utilisée dans des branches différentes des mathématiques. Vue sous un angle élémentaire, la fonction de Möbius permet certains calculs de dénombrement, en particulier pour l'étude des p-groupes ou en théorie des graphes.
Polynôme de TchebychevEn mathématiques, un polynôme de Tchebychev est un terme de l'une des deux suites de polynômes orthogonaux particulières reliées à la formule de Moivre. Les polynômes de Tchebychev sont nommés ainsi en l'honneur du mathématicien russe Pafnouti Lvovitch Tchebychev. Il existe deux suites de polynômes de Tchebychev, l'une nommée polynômes de Tchebychev de première espèce et notée T et l'autre nommée polynômes de Tchebychev de seconde espèce et notée U (dans les deux cas, l'entier naturel n correspond au degré).
Polynôme de LaguerreEn mathématiques, les polynômes de Laguerre, nommés d'après Edmond Laguerre, sont les solutions normalisées de l'équation de Laguerre : qui est une équation différentielle linéaire homogène d'ordre 2 et se réécrit sous la forme de Sturm-Liouville : Cette équation a des solutions non singulières seulement si n est un entier positif. Les solutions L forment une suite de polynômes orthogonaux dans L (R, edx), et la normalisation se fait en leur imposant d'être de norme 1, donc de former une famille orthonormale.
Polynôme de Legendrethumb|upright=1.5|Polynômes de Legendre En mathématiques et en physique théorique, les polynômes de Legendre constituent l'exemple le plus simple d'une suite de polynômes orthogonaux. Ce sont des solutions polynomiales P(x), sur l'intervalle x ∈ [–1, 1], de l'équation différentielle de Legendre : dans le cas particulier où le paramètre n est un entier naturel. De façon équivalente, les polynômes de Legendre sont les fonctions propres de l'endomorphisme de R[X] défini par : pour les valeurs propres .
Suite de polynômes orthogonauxEn mathématiques, une suite de polynômes orthogonaux est une suite infinie de polynômes p0(x), p1(x), p2(x) ... à coefficients réels, dans laquelle chaque pn(x) est de degré n, et telle que les polynômes de la suite sont orthogonaux deux à deux pour un produit scalaire de fonctions donné. Cette notion est utilisée par exemple en cryptologie ou en analyse numérique. Elle permet de résoudre de nombreux problèmes de physique, comme en mécanique des fluides ou en traitement du signal.
Formule d'inversion de MöbiusLa formule d'inversion de Möbius classique a été introduite dans la théorie des nombres au cours du par August Ferdinand Möbius. Elle a été généralisée plus tard à d'autres « formules d'inversion de Möbius ». La version classique déclare que pour toutes fonctions arithmétiques f et g, on a si et seulement si f est la transformée de Möbius de g, où μ est la fonction de Möbius et les sommes portent sur tous les diviseurs strictement positifs d de n.
Fonction arithmétiqueEn théorie des nombres, une fonction arithmétique f est une application définie sur l'ensemble des entiers strictement positifs et à valeurs dans l'ensemble des nombres complexes. En d'autres termes, une fonction arithmétique n'est rien d'autre qu'une suite de nombres complexes, indexée par N*. Les fonctions arithmétiques les plus étudiées sont les fonctions additives et les fonctions multiplicatives. Une opération importante sur les fonctions arithmétiques est le produit de convolution de Dirichlet.
Polynôme d'HermiteEn mathématiques, les polynômes d'Hermite sont une suite de polynômes qui a été nommée ainsi en l'honneur de Charles Hermite (bien qu'ils aient été définis, sous une autre forme, en premier par Pierre-Simon Laplace en 1810, surtout été étudiés par Joseph-Louis Lagrange lors de ses travaux sur les probabilités puis en détail par Pafnouti Tchebychev six ans avant Hermite). Ils sont parfois décrits comme des polynômes osculateurs.
Théorie de la démonstrationLa théorie de la démonstration, aussi connue sous le nom de théorie de la preuve (de l'anglais proof theory), est une branche de la logique mathématique. Elle a été fondée par David Hilbert au début du . Hilbert a proposé cette nouvelle discipline mathématique lors de son célèbre exposé au congrès international des mathématiciens en 1900 avec pour objectif de démontrer la cohérence des mathématiques.
Théorie ergodiquevignette|Flux d'un ensemble statistique dans le potentiel x6 + 4*x3 - 5x**2 - 4x. Sur de longues périodes, il devient tourbillonnant et semble devenir une distribution lisse et stable. Cependant, cette stabilité est un artefact de la pixellisation (la structure réelle est trop fine pour être perçue). Cette animation est inspirée d'une discussion de Gibbs dans son wikisource de 1902 : Elementary Principles in Statistical Mechanics, Chapter XII, p. 143 : « Tendance d'un ensemble de systèmes isolés vers un état d'équilibre statistique ».
Polynôme de BernoulliEn mathématiques, les polynômes de Bernoulli apparaissent dans l'étude de beaucoup de fonctions spéciales et en particulier, la fonction zêta de Riemann ; des polynômes analogues, correspondant à une fonction génératrice voisine, sont connus sous le nom de polynômes d'Euler. Les polynômes de Bernoulli sont l'unique suite de polynômes telle que : La fonction génératrice pour les polynômes de Bernoulli est La fonction génératrice pour les polynômes d'Euler est Les nombres de Bernoulli sont donnés par .
Fonction multiplicativeEn arithmétique, une fonction multiplicative est une fonction arithmétique f : N* → C vérifiant les deux conditions suivantes : f(1) = 1 ; pour tous entiers a et b > 0 premiers entre eux, on a : f (ab) = f(a)f(b). Une fonction complètement multiplicative est une fonction arithmétique g vérifiant : g(1) = 1 ; pour tous entiers a et b > 0, on a : g(ab) = g(a)g(b). Ces dénominations peuvent varier d'un ouvrage à un autre : fonction faiblement multiplicative pour fonction multiplicative, fonction multiplicative ou totalement multiplicative pour fonction complètement multiplicative.
ErgodicityIn mathematics, ergodicity expresses the idea that a point of a moving system, either a dynamical system or a stochastic process, will eventually visit all parts of the space that the system moves in, in a uniform and random sense. This implies that the average behavior of the system can be deduced from the trajectory of a "typical" point. Equivalently, a sufficiently large collection of random samples from a process can represent the average statistical properties of the entire process.
Proof by contradictionIn logic, proof by contradiction is a form of proof that establishes the truth or the validity of a proposition, by showing that assuming the proposition to be false leads to a contradiction. Although it is quite freely used in mathematical proofs, not every school of mathematical thought accepts this kind of nonconstructive proof as universally valid. More broadly, proof by contradiction is any form of argument that establishes a statement by arriving at a contradiction, even when the initial assumption is not the negation of the statement to be proved.
Hypothèse ergodiqueL'hypothèse ergodique, ou hypothèse d'ergodicité, est une hypothèse fondamentale de la physique statistique. Elle fut formulée initialement par Ludwig Boltzmann en 1871 pour les besoins de sa théorie cinétique des gaz. Elle s'appliquait alors aux systèmes composés d'un très grand nombre de particules, et affirmait qu'à l'équilibre, la valeur moyenne d'une grandeur calculée de manière statistique est égale à la moyenne d'un très grand nombre de mesures prises dans le temps.
Romanovski polynomialsIn mathematics, the Romanovski polynomials are one of three finite subsets of real orthogonal polynomials discovered by Vsevolod Romanovsky (Romanovski in French transcription) within the context of probability distribution functions in statistics. They form an orthogonal subset of a more general family of little-known Routh polynomials introduced by Edward John Routh in 1884. The term Romanovski polynomials was put forward by Raposo, with reference to the so-called 'pseudo-Jacobi polynomials in Lesky's classification scheme.
Proof (truth)A proof is sufficient evidence or a sufficient argument for the truth of a proposition. The concept applies in a variety of disciplines, with both the nature of the evidence or justification and the criteria for sufficiency being area-dependent. In the area of oral and written communication such as conversation, dialog, rhetoric, etc., a proof is a persuasive perlocutionary speech act, which demonstrates the truth of a proposition.
Incidence algebraIn order theory, a field of mathematics, an incidence algebra is an associative algebra, defined for every locally finite partially ordered set and commutative ring with unity. Subalgebras called reduced incidence algebras give a natural construction of various types of generating functions used in combinatorics and number theory. A locally finite poset is one in which every closed interval [a, b] = {x : a ≤ x ≤ b} is finite.
Processus ergodiqueUn est un processus stochastique pour lequel les statistiques peuvent être approchées par l'étude d'une seule réalisation suffisamment longue. Le théorème ergodique affirme que, sous condition, converge vers une limite pour presque toutes les réalisations , mais ne garantit pas l'égalité des à l'espérance . Un signal peut être: stationnaire mais non ergodique : par exemple le signal constant pour chaque réalisation. ergodique mais non stationnaire : par exemple le signal .
Proof calculusIn mathematical logic, a proof calculus or a proof system is built to prove statements. A proof system includes the components: Language: The set L of formulas admitted by the system, for example, propositional logic or first-order logic. Rules of inference: List of rules that can be employed to prove theorems from axioms and theorems. Axioms: Formulas in L assumed to be valid. All theorems are derived from axioms. Usually a given proof calculus encompasses more than a single particular formal system, since many proof calculi are under-determined and can be used for radically different logics.
