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Groupes de Coxeter: réflexions simples et de la conjugaison

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Dans cours

MATH-335: Coxeter groups

Study groups generated by reflections ...

Description

Cette séance de cours se penche sur les groupes de Coxeter, en se concentrant sur le théorème selon lequel un élément envoyant toutes les racines simples à des racines simples est l'identité. L'instructeur prouve que n'importe quel élément d'un groupe Coxeter peut être exprimé comme un produit de réflexions simples et explore la conjugaison de réflexions à des réflexions simples. La séance de cours aborde également l’indépendance de certains éléments sur le choix initial des générateurs et la relation entre les différents éléments du groupe. Divers exemples et preuves sont fournis pour illustrer ces concepts.

Enseignant·e

Anna Lachowska

Enseignement et PhD Cours Algebra MATH-310 Le cours introduit les concepts de base de l'algèbre, notamment les groupes, les anneaux et les corps. Analyse I MATH-101(e) Étudier les concepts fondamentaux d'analyse et le calcul différentiel et intégral des fonctions réelles d'une variable. Analyse II MATH-106(e) Étudier les concepts fondamentaux d'analyse et le calcul différentiel et intégral des fonctions réelles de plusieursvariables. Representation theory I

Source officielle

Concepts associés (29)

Groupe de Coxeter

Un groupe de Coxeter est un groupe engendré par des réflexions sur un espace. Les groupes de Coxeter se retrouvent dans de nombreux domaines des mathématiques et de la géométrie. En particulier, les groupes diédraux, ou les groupes d'isométries de polyèdres réguliers, sont des groupes de Coxeter. Les groupes de Weyl sont d'autres exemples de groupes de Coxeter. Ces groupes sont nommés d'après le mathématicien H.S.M. Coxeter. Un groupe de Coxeter est un groupe W ayant une présentation du type: où est à valeurs dans , est symétrique () et vérifie , si .

Coxeter element

In mathematics, the Coxeter number h is the order of a Coxeter element of an irreducible Coxeter group. It is named after H.S.M. Coxeter. Note that this article assumes a finite Coxeter group. For infinite Coxeter groups, there are multiple conjugacy classes of Coxeter elements, and they have infinite order. There are many different ways to define the Coxeter number h of an irreducible root system. A Coxeter element is a product of all simple reflections.

Diagramme de Coxeter-Dynkin

En géométrie, un diagramme de Coxeter-Dynkin est un graphe représentant un ensemble relationnel de miroirs (ou d'hyperplans de réflexion) dans l'espace pour une construction kaléidoscopique. En tant que graphe lui-même, le diagramme représente les groupes de Coxeter, chaque nœud du graphe représente un miroir (facette du domaine) et chaque branche du graphe représente l'ordre de l'angle diédral entre deux miroirs (sur une arête du domaine). En plus, les graphes ont des anneaux (cercles) autour des nœuds pour les miroirs actifs représentant un polytope précis.

Coxeter notation

In geometry, Coxeter notation (also Coxeter symbol) is a system of classifying symmetry groups, describing the angles between fundamental reflections of a Coxeter group in a bracketed notation expressing the structure of a Coxeter-Dynkin diagram, with modifiers to indicate certain subgroups. The notation is named after H. S. M. Coxeter, and has been more comprehensively defined by Norman Johnson. For Coxeter groups, defined by pure reflections, there is a direct correspondence between the bracket notation and Coxeter-Dynkin diagram.

Harold Scott MacDonald Coxeter

Harold Scott MacDonald « Donald » Coxeter (, Londres - , Toronto, Canada) est un mathématicien britannique. Il est considéré comme un des grands géomètres du . Une de ses idées originales fut de définir une conique comme une courbe autoduale. Il s'est fait connaître par son travail sur les polytopes réguliers et la géométrie en dimension supérieure. Il a rencontré M. C. Escher et son œuvre géométrique a été une source importante d'inspiration pour ce dernier. Il a aussi inspiré certaines des innovations de Buckminster Fuller.

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