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Concepts abstraits : Semi-Ring

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Description

Cette séance de cours introduit le concept d'un demi-anneau commutatif, qui est défini sur la base de propriétés similaires à celles de la théorie des ensembles. L'instructeur explique comment des opérations comme l'addition et la multiplication dans N présentent des propriétés analogues, conduisant à l'abstraction d'un demi-anneau. La séance de cours couvre la définition d'un demi-anneau commutatif avec deux opérations, illustrant des exemples où des propriétés telles que l'associativité, la commutabilité et l'existence d'éléments neutres sont satisfaites. Les propriétés discutées dans la séance de cours définissent précisément N comme un demi-anneau commutatif, le distinguant d'un anneau par l'absence de soustraction. L'exploration dans le chapitre précédent de l'ensemble de puissance d'un ensemble X, équipé d'opérations d'union et d'intersection, sert d'exemple de demi-anneau commutatif.

Source officielle

Concepts associés (22)

Distributivité

En mathématiques, plus précisément en arithmétique et en algèbre générale, la distributivité d'une opération par rapport à une autre est une généralisation de la propriété élémentaire : « le produit d'une somme est égal à la somme des produits ». Par exemple, dans l'expression 2 × (5 + 3) = (2×5) + (2×3), le facteur 2 est distribué à chacun des deux termes de la somme 5 + 3. L'égalité est alors bien vérifiée : à gauche 2 × 8 = 16, à droite 10 + 6 = 16.

Théorie des ensembles

La théorie des ensembles est une branche des mathématiques, créée par le mathématicien allemand Georg Cantor à la fin du . La théorie des ensembles se donne comme primitives les notions d'ensemble et d'appartenance, à partir desquelles elle reconstruit les objets usuels des mathématiques : fonctions, relations, entiers naturels, relatifs, rationnels, nombres réels, complexes... C'est pourquoi la théorie des ensembles est considérée comme une théorie fondamentale dont Hilbert a pu dire qu'elle était un « paradis » créé par Cantor pour les mathématiciens.

Théorie naïve des ensembles

Les ensembles sont d'une importance fondamentale en mathématiques ; en fait, de manière formelle, la mécanique interne des mathématiques (nombres, relations, fonctions, etc.) peut se définir en termes d'ensembles. Il y a plusieurs façons de développer la théorie des ensembles et plusieurs théories des ensembles existent. Par théorie naïve des ensembles, on entend le plus souvent un développement informel d'une théorie des ensembles dans le langage usuel des mathématiques, mais fondée sur les axiomes de la théorie des ensembles de Zermelo ou de Zermelo-Fraenkel avec axiome du choix dans le style du livre Naive Set Theory de Paul Halmos.

Distributivity (order theory)

In the mathematical area of order theory, there are various notions of the common concept of distributivity, applied to the formation of suprema and infima. Most of these apply to partially ordered sets that are at least lattices, but the concept can in fact reasonably be generalized to semilattices as well. Probably the most common type of distributivity is the one defined for lattices, where the formation of binary suprema and infima provide the total operations of join () and meet ().

Associativité

En mathématiques, et plus précisément en algèbre générale, une loi de composition interne ou loi interne sur un ensemble E est dite associative si pour tous x, y et z dans E : En notant , l'associativité se traduit par le diagramme commutatif suivant : Parmi les lois associatives, on peut citer les lois d'addition et de multiplication des nombres réels, des nombres complexes et des matrices carrées, l'addition des vecteurs, et l'intersection, la réunion d'ensembles.

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Séances de cours associées (64)

Nombres naturels : Propriétés et opérations

Explore les nombres naturels, leurs propriétés, leurs opérations et les applications pratiques comme le calcul des heures en un an.

Multiplication : Propriétés et définitions

Explique la définition et les propriétés de la multiplication entière dans divers scénarios.

Langages formels : Concepts

Couvre les bases des langues formelles, y compris les alphabets, les mots et les langues, ainsi que des opérations comme la concaténation et l'inversion.

Ajout de fractions

Couvre l'addition de fractions et de propriétés de nombres rationnels, en mettant l'accent sur l'associativité et les fractions de somme avec le même dénominateur.

Structure de l'anneau: Polynômes et coefficients

Couvre la structure de l'anneau, en se concentrant sur les polynômes et les coefficients, y compris l'associativité, la distributivité et le produit des anneaux.

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Concepts associés (22)

Distributivité

Théorie des ensembles

Théorie naïve des ensembles

Distributivity (order theory)

Associativité

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