Séance de cours

Groupes symplectiques

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Description

Cette séance de cours présente les groupes symplectiques, qui sont des transformations linéaires préservant une forme bilinéaire alternée non dégénérée sur un espace vectoriel. L'instructeur explique les propriétés des formes symplectiques, les contraintes de dimensionnalité et le groupe symplectique standard SP2m. La séance de cours couvre l'isomorphisme entre le groupe symplectique dans la dimension 2 et SL2, l'équivalence des formes symplectiques sous changement de base, et l'action transitive du groupe symplectique sur les vecteurs non nuls. De plus, la séance de cours aborde la connectivité du groupe symplectique et sa relation de sous-groupe avec le groupe linéaire spécial.

Source officielle

Proximité ontologique

Mathématiques

Algèbre: Algèbre linéaire, Théorie des représentations

Concepts associés (31)

Groupe général linéaire

En mathématiques, le groupe général linéaire — ou groupe linéaire — de degré n d’un corps commutatif K (ou plus généralement d'un anneau commutatif unifère) est le groupe des matrices inversibles de taille n à coefficients dans K, muni du produit matriciel. On le note GL(K) ou GL(n, K) et il représente les automorphismes de l’espace vectoriel K. Ce groupe est non abélien dès lors que n > 1. Lorsque K est un corps commutatif, l’ensemble GL(n, K) est en outre un ouvert pour la topologie de Zariski.

Groupe spécial linéaire

En mathématiques, le groupe spécial linéaire de degré n sur un corps commutatif K est le groupe SL(K) des matrices carrées d'ordre n sur K dont le déterminant est égal à 1. Plus intrinsèquement, le groupe spécial linéaire d'un espace vectoriel E de dimension finie sur K est le groupe SL(E) des éléments du groupe général linéaire GL(E) dont le déterminant est égal à 1. Cette définition admet différentes généralisations : une, immédiate, sur un anneau commutatif et deux variantes sur des corps non nécessairement commutatifs, dont l'une sur des corps qui sont de dimension finie sur leur centre.

Forme bilinéaire

En mathématiques, plus précisément en algèbre linéaire, une forme bilinéaire est une application qui à un couple de vecteurs associe un scalaire, et qui a la particularité d'être linéaire en ses deux arguments. Autrement dit, étant donné un espace vectoriel V sur un corps commutatif K, il s'agit d'une application f : V × V → K telle que, pour tous et tous , Les formes bilinéaires sont naturellement introduites pour les produits scalaires.

Projective linear group

In mathematics, especially in the group theoretic area of algebra, the projective linear group (also known as the projective general linear group or PGL) is the induced action of the general linear group of a vector space V on the associated projective space P(V). Explicitly, the projective linear group is the quotient group PGL(V) = GL(V)/Z(V) where GL(V) is the general linear group of V and Z(V) is the subgroup of all nonzero scalar transformations of V; these are quotiented out because they act trivially on the projective space and they form the kernel of the action, and the notation "Z" reflects that the scalar transformations form the center of the general linear group.

Application bilinéaire

En mathématiques, une application bilinéaire est un cas particulier d'application multilinéaire. Soient E, F et G trois espaces vectoriels sur un corps commutatif K et φ : E×F → G une application. On dit que φ est bilinéaire si elle est linéaire en chacune de ses variables, c'est-à-dire : Si G = K, on parle de forme bilinéaire. Le produit scalaire est une forme bilinéaire, car il est distributif sur la somme vectorielle, et associatif avec la multiplication par un scalaire : Soit A et B deux anneaux (non nécessairement commutatifs), E un A-module à gauche, F un B-module à droite et G un (A,B)-bimodule.

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Introduit des formes différentielles sur les collecteurs, couvrant les faisceaux tangents et les appariements d'intersection.

Formes bilinéaires: Théorie et applications

Couvre la théorie et les applications des formes bilinéaires dans divers contextes mathématiques.

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Explore le tore, les groupes linéaires, les propriétés de stabilité des matrices et les homomorphismes.

Groupes algébriques linéaires

Couvre les groupes algébriques linéaires, y compris les ensembles spéciaux et les exemples matriciels.

Weingarten Application de surfaces régulières

Couvre l'application de la carte Weingarten sur les surfaces régulières et l'opérateur de forme.

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Groupe général linéaire

Groupe spécial linéaire

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Projective linear group

Application bilinéaire

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