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Séance de cours

Cartes Conformistes et Géométrie Hyperbolique

Dans cours

MATH-213: Differential geometry I - curves and surfaces

This course serves as an introduction to classical differential geometry, which studies the geometric properties of curves and surfaces in the Euclidean space. ...

Description

Cette séance de cours couvre des cartes conformes, y compris la projection stéréographique, et explore la géométrie hyperbolique à travers des paramétrisations et le disque de Poincaré. Le défi est de prouver les propriétés isométriques de différents disques sur la sphère unitaire.

Enseignant·e

Marc Troyanov

Doctorat en mathématiques à l'Université de Genève (1987) - Postdoc à Paris et Salt-Lake City, puis professeur assistant à l'UQAM (Montréal). Venu en 1993 à l'EPFL comme professeur assistant, nommé MER en 1999 puis professeur titulaire en 2005. Domaine de recherche : géométrie différentielle, analyse sur les variétés et sur les espaces métriques.

Source officielle

Proximité ontologique

Mathématiques

Topologie: Variété (géométrie)

Concepts associés (32)

N-sphère

En géométrie, la sphère de dimension n, l'hypersphère ou n-sphère est une généralisation de la sphère à un espace euclidien de dimension quelconque. L'hypersphère constitue un des exemples les plus simples de variété, elle est plus précisément une hypersurface de l'espace euclidien , notée en général . Soient E un espace euclidien de dimension n + 1, A un point de E, et R un nombre réel strictement positif. On appelle hypersphère de centre A et de rayon R l'ensemble des points M dont la distance à A vaut R.

Projection stéréographique

En géométrie et en cartographie, la projection stéréographique est une projection cartographique azimutale permettant de représenter une sphère privée d'un point sur un plan. On convient souvent que le point dont on prive la sphère sera un des pôles de celle-ci ; le plan de projection peut être celui qui sépare les deux hémisphères, nord et sud, de la sphère, qu'on appelle plan équatorial. On peut également faire une projection stéréographique sur n'importe quel plan parallèle au plan équatorial pourvu qu'il ne contienne pas le point dont on a privé la sphère.

Géométrie hyperbolique

En mathématiques, la géométrie hyperbolique (nommée auparavant géométrie de Lobatchevski, lequel est le premier à en avoir publié une étude approfondie) est une géométrie non euclidienne vérifiant les quatre premiers postulats d’Euclide, mais pour laquelle le cinquième postulat, qui équivaut à affirmer que par un point extérieur à une droite passe une et une seule droite qui lui est parallèle, est remplacé par le postulat selon lequel « par un point extérieur à une droite passent plusieurs droites parallèle

Disque unité

droite|vignette|Disque unité ouvert avec la distance euclidienne. En mathématiques, le disque unité ouvert autour de P (où P est un point donné dans le plan), est l'ensemble des points dont la distance à P est inférieure à 1 : Le disque unité fermé autour de P est l'ensemble des points dont la distance à P est inférieure ou égale à un : Les disques unités sont des cas particuliers de disques et de boules unités ; en tant que tels, ils contiennent l'intérieur du cercle unité et, dans le cas du disque unité fermé, le cercle unité lui-même.

Sphère de Riemann

En mathématiques, la sphère de Riemann est une manière de prolonger le plan des nombres complexes avec un point additionnel à l'infini, de manière que certaines expressions mathématiques deviennent convergentes et élégantes, du moins dans certains contextes. Déjà envisagée par le mathématicien Carl Friedrich Gauss, elle est baptisée du nom de son élève Bernhard Riemann. Ce plan s'appelle également la droite projective complexe, dénoté .

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Séances de cours associées (34)

Isométries et homomorphismes de groupe

Explore les isométries, les homomorphismes de groupe, les transformations linéaires et la génération de groupe par similitudes.

Projection stéréographique et Tenseurs métriques

Explore la projection stéréographique et les tenseurs métriques sur des plans hyperboliques, en mettant l'accent sur l'isométrie et les modèles conformes.

Groupes fondamentaux

Explore les groupes fondamentaux, les classes d'homotopie et les revêtements dans les variétés connectées.

Les bonnes actions et les quotients

Couvre les actions correctes des groupes sur les surfaces de Riemann et introduit des courbes algébriques via des racines carrées.

Géométrie hyperbolique

Introduit une géométrie hyperbolique, couvrant des espaces métriques complets, des isométries et une courbure gaussienne dans la dimension 2.

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Concepts associés (32)

N-sphère

Projection stéréographique

Géométrie hyperbolique

Disque unité

Sphère de Riemann

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