Séance de cours

Divisibilité et torsion

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Description

Cette séance de cours couvre les concepts de divisibilité et de torsion dans le contexte de la théorie de groupe, en se concentrant sur la définition d'un functeur D: Groupes abeliens -> Groupes abeliens qui préserve la divisibilité. L'instructeur explique la décomposition des groupes cycliques, la notion d'éléments divisibles, et la construction du functeur D. La séance de cours se décline dans les propriétés de D, sa relation avec les functeurs Hom, et la divisibilité des éléments dans les groupes abeliens. Diverses approches pour définir D et vérifier ses propriétés sont discutées, en soulignant l'importance de la divisibilité et de la torsion dans les structures de groupe.

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Proximité ontologique

Mathématiques

Algèbre: Algèbre générale

Concepts associés (32)

Foncteur

Dans la théorie des catégories, un foncteur est une construction transformant les objets et morphismes d'une catégorie en ceux d'une autre catégorie, d'une façon compatible. On parle alors d'une construction fonctorielle ou de fonctorialité. Une telle construction est donc un morphisme entre deux catégories. Historiquement, les foncteurs furent introduits en topologie algébrique, associant aux espaces topologiques et aux applications continues des objets algébriques tels que les groupes d'homotopie et les morphismes de groupes, permettant ainsi un véritable calcul d'invariants caractérisant ces espaces.

Foncteur Hom

En mathématiques, le foncteur Hom est un foncteur associé aux morphismes de la catégorie des ensembles. Il est central en théorie des catégories, notamment du fait de son rôle dans le lemme de Yoneda et parce qu'il permet de définir le foncteur Ext. Soit une catégorie localement petite. Pour tout couple d'objets A et B dans cette catégorie, un morphisme induit une fonction pour tout objet X.

Foncteur adjoint

L'adjonction est une situation omniprésente en mathématiques, et formalisée en théorie des catégories par la notion de foncteurs adjoints. Une adjonction entre deux catégories et est une paire de deux foncteurs et vérifiant que, pour tout objet X dans C et Y dans D, il existe une bijection entre les ensembles de morphismes correspondants et la famille de bijections est naturelle en X et Y. On dit que F et G sont des foncteurs adjoints et plus précisément, que F est « adjoint à gauche de G » ou que G est « adjoint à droite de F ».

Foncteur exact

En mathématiques, un foncteur exact est un foncteur qui commute aux limites inductives et projectives. De manière équivalente, c'est un foncteur qui préserve les suites exactes de catégories abéliennes et c'est de cela que vient la dénomination. Des foncteurs de ce type apparaissent naturellement en homologie et d'une manière générale en théorie des catégories, où leurs propriétés permettent des calculs élégants. Le « défaut d'exactitude » est mesuré par les foncteurs dérivés, par exemple les foncteurs Tor et Ext.

Foncteur plein et fidèle

En théorie des catégories, un foncteur plein (respectivement fidèle) est un foncteur dont la restriction à chacun des ensembles de morphismes est surjectif (respectivement injectif). Soient C et D deux catégories et F : C → D un foncteur de C dans D. Pour X et Y des objets de C, le foncteur F induit une fonction Le foncteur F est dit : fidèle si pour tout X, Y dans C, FX, Y est injective ; plein si pour tout X, Y dans C, FX, Y est surjective ; pleinement fidèle si pour tout X, Y dans C, FX, Y est bijective.

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