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Séance de cours

Diagonalizabilité des matrices

Dans cours

MATH-111(e): Algèbre linéaire

L'objectif du cours est d'introduire les notions de base de l'algèbre linéaire et ses applications. ...

Description

Cette séance de cours explore le concept de diagonalisation des matrices en analysant la relation entre les multiplicités algébriques et géométriques des valeurs propres. L'instructeur explique comment déterminer si une matrice est diagonalisable en comparant ces multiplicités et en trouvant des vecteurs propres linéairement indépendants. À travers des exemples, la séance de cours démontre le processus de recherche de vecteurs propres et de formation de bases pour les espaces propres. L'importance de comprendre les dimensions des espaces propres et leurs implications pour la diagonalisation est soulignée. La séance de cours conclut en soulignant le théorème clé qui détermine si une matrice est diagonalisable sur la base de légalité des multiplicités algébriques et géométriques des valeurs propres.

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Regarder sur Mediaspace

Enseignant·e·s (2)

Jérôme Scherer

Nicolas Boumal

Source officielle

Proximité ontologique

Mathématiques

Algèbre: Algèbre linéaire

Concepts associés (32)

Matrice diagonalisable

En mathématiques, une matrice diagonalisable est une matrice carrée semblable à une matrice diagonale. Cette propriété est équivalente à l'existence d'une base de vecteurs propres, ce qui permet de définir de manière analogue un endomorphisme diagonalisable d'un espace vectoriel. Le fait qu'une matrice soit diagonalisable dépend du corps dans lequel sont cherchées les valeurs propres, ce que confirme la caractérisation par le fait que le polynôme minimal soit scindé à racines simples.

Valeur propre, vecteur propre et espace propre

En mathématiques, et plus particulièrement en algèbre linéaire, le concept de vecteur propre est une notion algébrique s'appliquant à une application linéaire d'un espace dans lui-même. Il correspond à l'étude des axes privilégiés, selon lesquels l'application se comporte comme une dilatation, multipliant les vecteurs par une même constante. Ce rapport de dilatation est appelé valeur propre, les vecteurs auxquels il s'applique s'appellent vecteurs propres, réunis en un espace propre.

Generalized eigenvector

In linear algebra, a generalized eigenvector of an matrix is a vector which satisfies certain criteria which are more relaxed than those for an (ordinary) eigenvector. Let be an -dimensional vector space and let be the matrix representation of a linear map from to with respect to some ordered basis. There may not always exist a full set of linearly independent eigenvectors of that form a complete basis for . That is, the matrix may not be diagonalizable.

Décomposition d'une matrice en éléments propres

En algèbre linéaire, la décomposition d'une matrice en éléments propres est la factorisation de la matrice en une forme canonique où les coefficients matriciels sont obtenus à partir des valeurs propres et des vecteurs propres. Un vecteur non nul v à N lignes est un vecteur propre d'une matrice carrée A à N lignes et N colonnes si et seulement si il existe un scalaire λ tel que : où λ est appelé valeur propre associée à v. Cette dernière équation est appelée « équation aux valeurs propres ».

Matrice compagnon

En algèbre linéaire, la matrice compagnon du polynôme unitaire est la matrice carrée suivante : mais il existe d'autres conventions : la matrice transposée de celle ci-dessus ; une variante de cette transposée : la matrice Le polynôme caractéristique de C(p) est égal à p (ou (–1)p selon la convention choisie pour le polynôme caractéristique) ; en ce sens, la matrice C(p) est la « compagne » du polynôme p. Si le polynôme p possède n racines distinctes λ1, ...

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Séances de cours associées (37)

Algèbre linéaire: base canonique

Explore la base canonique en algèbre linéaire, en se concentrant sur la représentation matricielle, la diagonalisation et les polynômes caractéristiques.

Diagonalisation des transformations linéaires

Explique la diagonalisation des transformations linéaires en utilisant des vecteurs propres et des valeurs propres pour former une matrice diagonale.

Diagonalisation des transformations linéaires

Couvre la diagonalisation des transformations linéaires en R^3, explorant les propriétés et les exemples.

Valeurs propres et vecteurs propres en 3D

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Cas non-diagonisables : preuves

Couvre les preuves relatives aux cas non diagonisables et aux applications linéaires dans IR3.

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Valeur propre, vecteur propre et espace propre

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