Norme d'opérateurEn mathématiques, et plus particulièrement en analyse fonctionnelle, une norme d'opérateur ou norme subordonnée est une norme définie sur l'espace des opérateurs bornés entre deux espaces vectoriels normés. Entre deux tels espaces, les opérateurs bornés ne sont autres que les applications linéaires continues. Sur un corps K « valué » (au sens : muni d'une valeur absolue) et non discret (typiquement : K = R ou C), soient E et F deux espaces vectoriels normés respectivement munis des normes ‖ ‖ et ‖ ‖.
Espace vectoriel ordonnéEn mathématiques, un espace vectoriel ordonné (ou espace vectoriel partiellement ordonné) est un espace vectoriel sur muni d'une relation d'ordre compatible avec sa structure. Il est dit totalement ordonné si l'ordre associé est un ordre total. Soit E un espace vectoriel sur le corps des réels et un préordre sur .
Norme matricielleEn mathématiques, une norme matricielle est un cas particulier de norme vectorielle, sur un espace de matrices. Dans ce qui suit, K désigne le corps des réels ou des complexes. Certains auteurs définissent une norme matricielle comme étant simplement une norme sur un espace vectoriel M(K) de matrices à m lignes et n colonnes à coefficients dans K. Pour d'autres, une norme matricielle est seulement définie sur une algèbre M(K) de matrices carrées et est une norme d'algèbre, c'est-à-dire qu'elle est de plus sous-multiplicative.
Ouvert-ferméEn topologie, un ouvert-fermé est un sous-ensemble d'un espace topologique X qui est à la fois ouvert et fermé. Il peut sembler contre-intuitif que de tels ensembles existent, puisqu'au sens usuel, « ouvert » et « fermé » sont antonymes. Mais au sens mathématique, ces deux notions ne sont pas mutuellement exclusives : une partie de X est dite fermée si son complémentaire dans X est ouvert, donc un ouvert-fermé est simplement un ouvert dont le complémentaire est aussi ouvert.
Comparaison de topologiesEn mathématiques, l'ensemble de toutes les topologies possibles sur un ensemble donné possède une structure d'ensemble partiellement ordonné. Cette relation d'ordre permet de comparer les différentes topologies. Soient τ1 et τ2 deux topologies sur un ensemble X. On dit que τ2 est plus fine que τ1 (ou bien que τ1 est moins fine que τ2) et on note τ ⊆ τ si l'application identité idX : (X, τ2) → (X, τ1) est continue. Si de plus τ ≠ τ, on dit que τ2 est strictement plus fine que τ1 (ou bien que τ1 est strictement moins fine que τ2).
Algorithme d'EuclideEn mathématiques, l'algorithme d'Euclide est un algorithme qui calcule le plus grand commun diviseur (PGCD) de deux entiers, c'est-à-dire le plus grand entier qui divise les deux entiers, en laissant un reste nul. L'algorithme ne requiert pas de connaître la factorisation de ces deux nombres. vignette|Peinture censée représenter le mathématicien Euclide d'Alexandrie, par Justus of Ghent. Selon Donald Knuth, l'algorithme d'Euclide est l'un des plus anciens algorithmes.
Produit mixteEn géométrie, produit mixte est le nom que prend le déterminant dans un cadre euclidien orienté. Sa valeur absolue s'interprète comme le volume d'un parallélotope. Pour le produit mixte dans un espace euclidien orienté de dimension trois, voir l'article géométrie vectorielle. Soit E un espace euclidien orienté de dimension n. Soit B une base orthonormale directe de E. Le produit mixte de n vecteurs de E est défini par Il ne dépend pas de la base orthonormale directe B choisie.
Espace pseudo-euclidienEn mathématiques, et plus particulièrement en géométrie, un espace pseudo-euclidien est une extension du concept d'espace euclidien, c'est-à-dire que c'est un espace vectoriel muni d'une forme bilinéaire (qui définirait la métrique dans le cas d'un espace euclidien), mais cette forme n'est pas définie positive, ni même positive. L'espace de Minkowski est un exemple d'espace pseudo-euclidien. Dans les espaces euclidiens, les notions de métrique et d'orthogonalité sont construites par l'adjonction d'un produit scalaire à un espace vectoriel réel de dimension finie.
Raisonnement par disjonction de casProof by exhaustion, also known as proof by cases, proof by case analysis, complete induction or the brute force method, is a method of mathematical proof in which the statement to be proved is split into a finite number of cases or sets of equivalent cases, and where each type of case is checked to see if the proposition in question holds. This is a method of direct proof. A proof by exhaustion typically contains two stages: A proof that the set of cases is exhaustive; i.e.
Produit (mathématiques)On nomme produit de nombres entiers, réels, complexes ou autres le résultat de leur multiplication. Les éléments multipliés s’appellent les facteurs du produit. L’expression d’un produit est aussi appelée « produit », par exemple l’écriture 3a du triple du nombre a est un produit de deux facteurs, où le symbole de la multiplication est sous-entendu. L'ordre dans lequel les nombres réels ou les nombres complexes sont multipliés, de même que la façon de regrouper ces termes, n'ont pas d'importance ; ainsi, nulle permutation de termes ne modifie le résultat du produit.
Démonstration (logique et mathématiques)vignette| : un des plus vieux fragments des Éléments d'Euclide qui montre une démonstration mathématique. En mathématiques et en logique, une démonstration est un ensemble structuré d'étapes correctes de raisonnement. Dans une démonstration, chaque étape est soit un axiome (un fait acquis), soit l'application d'une règle qui permet d'affirmer qu'une proposition, la conclusion, est une conséquence logique d'une ou plusieurs autres propositions, les prémisses de la règle.
Scalaire (mathématiques)En algèbre linéaire, les nombres réels qui multiplient les vecteurs dans un espace vectoriel sont appelés des scalaires. Cette multiplication par un scalaire, qui permet de multiplier un vecteur par un nombre pour produire un vecteur, correspond à la loi externe de l'espace vectoriel. Plus généralement, dans un K-espace vectoriel, les scalaires sont les éléments de K, où K peut être l'ensemble des nombres complexes ou n'importe quel autre corps.
