Séance de cours

Polynômes irréductibles et champs finis

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Dans cours

MATH-310: Algebra

This is an introduction to modern algebra: groups, rings and fields. ...

Description

Cette séance de cours couvre les polynômes irréductibles avec des coefficients dans un champ, le critère d'Eisenstein, les quotients des anneaux polynomiaux, l'ordre du champ quotient, les propriétés des champs finis, le champ de division d'un polynôme, et le groupe cyclique d'unités d'un champ fini. Il explique également comment construire un champ fini unique de pn éléments comme un quotient de F_p[x] sur l'idéal généré par un polynôme irréductible de degré n.

Enseignant·e

Anna Lachowska

Enseignement et PhD Cours Algebra MATH-310 Le cours introduit les concepts de base de l'algèbre, notamment les groupes, les anneaux et les corps. Analyse I MATH-101(e) Étudier les concepts fondamentaux d'analyse et le calcul différentiel et intégral des fonctions réelles d'une variable. Analyse II MATH-106(e) Étudier les concepts fondamentaux d'analyse et le calcul différentiel et intégral des fonctions réelles de plusieursvariables. Representation theory I

Source officielle

Proximité ontologique

Mathématiques

Algèbre: Algèbre générale

Concepts associés (32)

Corps commutatif

vignette|Corps commutatif (pour n premier) En mathématiques, un corps commutatif (parfois simplement appelé corps, voir plus bas, ou parfois appelé champ) est une des structures algébriques fondamentales de l'algèbre générale. C'est un ensemble muni de deux opérations binaires rendant possibles les additions, soustractions, multiplications et divisions. Plus précisément, un corps commutatif est un anneau commutatif dans lequel l'ensemble des éléments non nuls est un groupe commutatif pour la multiplication.

Factorisation des polynômes

En mathématiques, la factorisation d'un polynôme consiste à écrire celui-ci comme produit de polynômes. Les factorisations intéressantes sont celles permettant d'écrire le polynôme initial en produit de plusieurs polynômes non inversibles. Un polynôme non inversible pour lequel aucune factorisation de ce type n'existe s'appelle un polynôme irréductible. La décomposition d'un polynôme en produits de polynômes irréductibles existe, et a une propriété d'unicité (à un facteur inversible près), pour tout polynôme à coefficients réels ou complexes.

Polynôme

thumb|Courbe représentative d'une fonction cubique. En mathématiques, un polynôme est une expression formée uniquement de produits et de sommes de constantes et d'indéterminées, habituellement notées X, Y, Z... Ces objets sont largement utilisés en pratique, ne serait-ce que parce qu'ils donnent localement une valeur approchée de toute fonction dérivable (voir l'article Développement limité) et permettent de représenter des formes lisses (voir l'article Courbe de Bézier, décrivant un cas particulier de fonction polynomiale).

Lemme de Gauss (polynômes)

En mathématiques, le lemme de Gauss originel énonce que si un polynôme à coefficients entiers est produit de deux polynômes unitaires à coefficients rationnels, ceux-ci sont en fait nécessairement à coefficients entiers. Sa version moderne en est une double généralisation, remplaçant l'anneau des entiers par un anneau factoriel A, et stipulant que le produit de deux polynômes primitifs ( à coefficients premiers entre eux) est primitif. Elle permet de démontrer la factorialité de l'anneau A[X].

Total ring of fractions

In abstract algebra, the total quotient ring or total ring of fractions is a construction that generalizes the notion of the field of fractions of an integral domain to commutative rings R that may have zero divisors. The construction embeds R in a larger ring, giving every non-zero-divisor of R an inverse in the larger ring. If the homomorphism from R to the new ring is to be injective, no further elements can be given an inverse. Let be a commutative ring and let be the set of elements which are not zero divisors in ; then is a multiplicatively closed set.

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Séances de cours associées (64)

Géométrie algébrique : anneaux et corps

Explore la géométrie algébrique, en se concentrant sur les anneaux, les corps, les quotients et les polynômes irréductibles.

Polynômes irréductibles et champs finis

Explore les polynômes irréductibles, les champs finis, les groupes d'unités cycliques et la construction de champs.

Propriétés des domaines euclidien

Couvre les propriétés des domaines euclidiens et des éléments irréductibles dans les anneaux polynomiaux.

Théorème du reste des Chinois: Anneaux et Champs

Couvre le reste du théorème chinois pour les anneaux commutatifs et entiers, les anneaux polynômes et les domaines euclidéens.

Les bonnes actions et les quotients

Couvre les actions correctes des groupes sur les surfaces de Riemann et introduit des courbes algébriques via des racines carrées.

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Polynôme

Lemme de Gauss (polynômes)

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