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Projections orthogonales : Symétrie et matrices

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Description

Cette séance de cours couvre le concept de projections orthogonales, en se concentrant sur la symétrie des matrices et de leurs applications. L'instructeur explique comment déterminer la matrice d'une projection orthogonale et démontre ses propriétés à travers divers exemples.

Source officielle

Proximité ontologique

Art

Arts visuels: Peinture (art)

Concepts associés (32)

Géométrie

La géométrie est à l'origine la branche des mathématiques étudiant les figures du plan et de l'espace (géométrie euclidienne). Depuis la fin du , la géométrie étudie également les figures appartenant à d'autres types d'espaces (géométrie projective, géométrie non euclidienne ). Depuis le début du , certaines méthodes d'étude de figures de ces espaces se sont transformées en branches autonomes des mathématiques : topologie, géométrie différentielle et géométrie algébrique.

Symétrie

La symétrie est une propriété d'un système : c'est lorsque deux parties sont semblables. L'exemple le plus connu est la symétrie en géométrie. De manière générale, un système est symétrique quand on peut permuter ses éléments en laissant sa forme inchangée. Le concept d'automorphisme permet de préciser cette définition. Un papillon, par exemple, est symétrique parce qu'on peut permuter tous les points de la moitié gauche de son corps avec tous les points de la moitié droite sans que son apparence soit modifiée.

Géométrie différentielle

vignette|Exemple d'objets étudiés en géométrie différentielle. Un triangle dans une surface de type selle de cheval (un paraboloïde hyperbolique), ainsi que deux droites parallèles. En mathématiques, la géométrie différentielle est l'application des outils du calcul différentiel à l'étude de la géométrie. Les objets d'étude de base sont les variétés différentielles, ensembles ayant une régularité suffisante pour envisager la notion de dérivation, et les fonctions définies sur ces variétés.

Géométrie non euclidienne

La géométrie non euclidienne (GNE) est, en mathématiques, une théorie géométrique ayant recours aux axiomes et postulats posés par Euclide dans les Éléments, sauf le postulat des parallèles. Les différentes géométries non euclidiennes sont issues initialement de la volonté de démontrer la proposition du cinquième postulat, qui apparaissait peu satisfaisant en tant que postulat car trop complexe et peut-être redondant avec les autres postulats).

Groupe de symétrie

Le groupe de symétrie, ou groupe des isométries, d'un objet (, signal, etc.) est le groupe de toutes les isométries sous lesquelles cet objet est globalement invariant, l'opération de ce groupe étant la composition. C'est un sous-groupe du groupe euclidien, qui est le groupe des isométries de l'espace affine euclidien ambiant. (Si cela n'est pas indiqué, nous considérons ici les groupes de symétrie en géométrie euclidienne, mais le concept peut aussi être étudié dans des contextes plus larges, voir ci-dessous.

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Couvre les équations cartésiennes en géométrie analytique, en se concentrant sur le codage des directions des lignes et des équations uniques.

Géométrie analytique : rotation et centrage

Explore la rotation en géométrie analytique, y compris les coordonnées centrales et les points fixes.

Géométrie analytique: symétrie des vecteurs

Explore la symétrie des vecteurs par rapport à une ligne en géométrie analytique.

Géométrie analytique : réflexion et symétrie

Explore la géométrie analytique, en mettant l'accent sur la réflexion et la symétrie dans les matrices et les plans.

Géométrie analytique: Angles orientés

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Géométrie

Symétrie

Géométrie différentielle

Géométrie non euclidienne

Groupe de symétrie

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