Séance de cours

Roulette avec courbes et surfaces

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Description

Cette séance de cours explore les concepts mathématiques derrière la construction d'une roulette, en explorant les distributions de probabilité sur les courbes et en étudiant les propriétés des modèles de surface aléatoires. L'instructeur discute des symétries statistiques, du lien entre le mouvement brownien et les courbes fractales, et des processus révolutionnaires d'évolution de Schramm-Loewner (SLE). La séance de cours couvre également le champ libre gaussien bidimensionnel, son irrégularité, ses lignes de contour et ses propriétés géométriques. La décomposition en excursion du champ libre gaussien est expliquée, montrant comment il peut être décomposé en ensembles nuls et en excursions sinusoïdales positives / négatives. La séance de cours se termine par une perspective sur la compréhension de la géométrie aléatoire en trois dimensions et l'intuition mathématique impliquée dans l'exploration de nouveaux concepts.

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Concepts associés (22)

Fractal curve

A fractal curve is, loosely, a mathematical curve whose shape retains the same general pattern of irregularity, regardless of how high it is magnified, that is, its graph takes the form of a fractal. In general, fractal curves are nowhere rectifiable curves — that is, they do not have finite length — and every subarc longer than a single point has infinite length. A famous example is the boundary of the Mandelbrot set. Fractal curves and fractal patterns are widespread, in nature, found in such places as broccoli, snowflakes, feet of geckos, frost crystals, and lightning bolts.

Fractale

vignette|Exemple de figure fractale (détail de l'ensemble de Mandelbrot)|alt=Exemple de figure fractale (détail de l'ensemble de Mandelbrot). vignette|Ensemble de Julia en . Une figure fractale est un objet mathématique qui présente une structure similaire à toutes les échelles. C'est un objet géométrique « infiniment morcelé » dont des détails sont observables à une échelle arbitrairement choisie. En zoomant sur une partie de la figure, il est possible de retrouver toute la figure ; on dit alors qu’elle est « auto similaire ».

Dimension fractale

En géométrie fractale, la dimension fractale, D, est une grandeur qui a vocation à traduire la façon qu'a un ensemble fractal de remplir l'espace, à toutes les échelles. Dans le cas des fractales, elle est non entière et supérieure à la dimension topologique. Ce terme est un terme générique qui recouvre plusieurs définitions. Chacune peut donner des résultats différents selon l'ensemble considéré, il est donc essentiel de mentionner la définition utilisée lorsqu'on valorise la dimension fractale d'un ensemble.

Loi de probabilité

thumb|400px 3 répartitions.png En théorie des probabilités et en statistique, une loi de probabilité décrit le comportement aléatoire d'un phénomène dépendant du hasard. L'étude des phénomènes aléatoires a commencé avec l'étude des jeux de hasard. Jeux de dés, tirage de boules dans des urnes et jeu de pile ou face ont été des motivations pour comprendre et prévoir les expériences aléatoires. Ces premières approches sont des phénomènes discrets, c'est-à-dire dont le nombre de résultats possibles est fini ou infini dénombrable.

Loi de probabilité à plusieurs variables

vignette|Représentation d'une loi normale multivariée. Les courbes rouge et bleue représentent les lois marginales. Les points noirs sont des réalisations de cette distribution à plusieurs variables. Dans certains problèmes interviennent simultanément plusieurs variables aléatoires. Mis à part les cas particuliers de variables indépendantes (notion définie ci-dessous) et de variables liées fonctionnellement, cela introduit la notion de loi de probabilité à plusieurs variables autrement appelée loi jointe.

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Introduit des concepts clés en variables de probabilité et aléatoires, couvrant les statistiques, les distributions et la covariance.

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Présente les sujets de la science des données, les méthodes d'évaluation et l'organisation des cours pour le semestre.

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