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Vecteurs Tangent sans espace d'intégration: Classes d'équivalence

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Dans cours

MATH-512: Optimization on manifolds

We develop, analyze and implement numerical algorithms to solve optimization problems of the form min f(x) where x is a point on a smooth manifold. To this end, we first study differential and Riemannian geometry (with a focus dictated by computational con ...

Description

Cette séance de cours explore les vecteurs tangents sans espace d'intégration, en se concentrant sur les vecteurs tangents comme classes d'équivalence. En définissant une relation d'équivalence sur des courbes lisses, la séance de cours illustre comment l'espace tangent à un point sur un collecteur peut être construit. La relation d'équivalence s'avère indépendante du choix du graphique autour du point, conduisant au concept d'un vecteur tangent comme classe d'équivalence des courbes. La séance de cours met l'accent sur la nature abstraite des vecteurs tangents et leur rôle dans l'optimisation sur les collecteurs, fournissant des indications qui peuvent être appliquées aux collecteurs généraux.

Enseignant·e

Nicolas Boumal

Enseignement et PhD Doctorant·es actuel·les Andreea-Alexandra Musat A dirigé les thèses EPFL de Christopher Criscitiello, Quentin Rebjock Cours Algèbre linéaire MATH-111(e) L'objectif du cours est d'introduire les notions de base de l'algèbre linéaire et ses applications. Continuous optimization MATH-329 This course introduces students to continuous, nonlinear optimization. We study the theory of optimization with continuous variables (with full proofs), and we analyze and

Source officielle

Proximité ontologique

Mathématiques

Géométrie: Géométrie différentielle

Concepts associés (32)

Champ de vecteurs

thumb|Un exemple de champ de vecteurs, de la forme (-y,x). thumb|Autre exemple. thumb|Le flux d'air autour d'un avion est un champ tridimensionnel (champ des vitesses des particules d'air), ici visualisé par les bulles qui matérialisent les lignes de courant. En mathématiques, un champ de vecteurs ou champ vectoriel est une fonction qui associe un vecteur à chaque point d'un espace euclidien ou plus généralement d'une variété différentielle.

Tangente (géométrie)

Tangente vient du latin tangere, toucher : en géométrie, la tangente à une courbe en un de ses points est une droite qui « touche » la courbe au plus près au voisinage de ce point. La courbe et sa tangente forment alors un angle nul en ce point. La notion de tangente permet d'effectuer des approximations : pour la résolution de certains problèmes qui demandent de connaître le comportement de la courbe au voisinage d'un point, on peut assimiler celle-ci à sa tangente. Ceci explique la parenté entre la notion de tangente et le calcul différentiel.

Pushforward (differential)

In differential geometry, pushforward is a linear approximation of smooth maps on tangent spaces. Suppose that is a smooth map between smooth manifolds; then the differential of at a point , denoted , is, in some sense, the best linear approximation of near . It can be viewed as a generalization of the total derivative of ordinary calculus. Explicitly, the differential is a linear map from the tangent space of at to the tangent space of at , . Hence it can be used to push tangent vectors on forward to tangent vectors on .

Cotangent space

In differential geometry, the cotangent space is a vector space associated with a point on a smooth (or differentiable) manifold ; one can define a cotangent space for every point on a smooth manifold. Typically, the cotangent space, is defined as the dual space of the tangent space at , , although there are more direct definitions (see below). The elements of the cotangent space are called cotangent vectors or tangent covectors. All cotangent spaces at points on a connected manifold have the same dimension, equal to the dimension of the manifold.

Fibré tangent

En mathématiques, et plus précisément en géométrie différentielle, le fibré tangent TM associé à une variété différentielle M est la somme disjointe de tous les espaces tangents en tous les points de la variété, soit : où est l'espace tangent de M en x. Un élément de TM est donc un couple (x, v) constitué d'un point x de M et d'un vecteur v tangent à M en x. Le fibré tangent peut être muni d'une topologie découlant naturellement de celle de M.

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Séances de cours associées (64)

Vecteurs Tangent sans espace d'intégration : rendre les espaces tangents linéaires

Explore la linéarité des espaces tangents, la définition des vecteurs tangents sans un espace d'intégration et leurs opérations, ainsi que l'équivalence des différentes notions d'espace tangents.

Comparaison des vecteurs tangents : trois raisons Pourquoi

Explore l'importance de comparer les vecteurs tangents à différents points à l'aide d'algorithmes et de différences finies.

Connexions : Définition axiomatique

Explore les connexions sur les collecteurs, en mettant l'accent sur la définition axiomatique et les propriétés des dérivés dans les champs vectoriels de différenciation.

Différenciation des champs vectoriels: Pourquoi faire?

Explore l'importance de différencier les champs vectoriels et la méthodologie appropriée pour y parvenir, en soulignant l'importance d'aller au-delà du premier ordre.

Formes différentielles sur les collecteurs

Introduit des formes différentielles sur les collecteurs, couvrant les faisceaux tangents et les appariements d'intersection.

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Concepts associés (32)

Champ de vecteurs

Tangente (géométrie)

Pushforward (differential)

Cotangent space

Fibré tangent

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